圆锥曲线最值问题常见题型与解题技巧

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1、高中数学教与学2010年圆锥曲线最值问题常见题型与麓题技巧谢久香(山东省烟台鲁东大学附属中学，264025)在高考数学试卷中，解析几何内容占总(1)几何法．运用数形结合思想，借助圆分的20％左右，其中圆锥曲线又是解析几何锥曲线的定义、图形、性质等将题干已知条件的主要内容，占总分的15％左右，其重要性可转化为平面几何图形，再运用平面几何的相见一斑．历年来圆锥曲线题目不仅分值一直关基本知识(如两点之间线段最短，点到直线保持稳定，而且题型多样，方法灵活，综合性的垂线段最短)进行巧妙解题．强，常被安排在试卷的

2、最后作为把关题或压(2)代数法．由已知条件建立目标函数，轴题．圆锥曲线的最值问题是解析几何重点转化为函数最值问题，再选用配方法、判别式出题之一，又是09年高考数学考试中的一大法、不等式法、利用函数单调性法以及参数法亮点．它涉及知识面广，常用到函数、不等式等求最值．及三角函数等重点知识，而且其考查方法灵2．运用各种方法需注意的问题活多样．圆锥曲线最值问题不仅能考查学生运用几何方法时，凡涉及曲线上的点到对基础知识的掌握程度，又能体现学生灵活焦点(或准线)距离时，常联想圆锥曲线的第运用数学思想和方法综合解决

3、问题的能力，二定义，利用数形结合思想解题，应画出直观故其要求较高，难度较大，需要学生认真细致图象，分析代数式含义，把“数”与“形”进行备考．有机转化，能达到事半功倍的效果．一、解题方法指导配方法常与二次函数相联系，由二次函1．解决圆锥曲线最值问题常见思想方法数图象及自变量范围可求最值．若对称轴位置“●⋯·●⋯·●⋯-●⋯·●⋯-●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯-●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●

4、⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●”lll‘+十⋯+<·‘÷+r÷+⋯+[。÷(：l，2，3，⋯，一1)．例5求证÷+了1+1+⋯+J=2÷+r+f÷+⋯+f÷在[一1，]上满足·1<。÷(=2，JⅡ一1=』n11l1+了++‘一+·．．原不等式成立．·20·第6朝高中数学教与学不确定，要分类讨论．例2已知

5、抛物线C：)，：4x．当目标函数转化为关于的二次方程(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物F(，Y)=0且方程有实根时，可运用判别式线的焦点F及准线z分别重合，试求椭圆短轴法，由△≥0求解．端点曰与焦点F连线中点P的轨迹方程；运用均值不等式可有效求得最值，但要(2)若M(m，0)是轴上的一个定点，Q注意条件“一正，二定，三相等”．是(1)所求轨迹上任一点，试问IMQI有无最利用函数单调性时，若不是初等函数，可小值?若有求出，若无说明理由．利用求导确定函数单调性，明确自变量范围，分析由抛物线C：Y=4x得

6、焦点F(1，求最值．0)，准线z：：一1．引人参数法，注意引入参数前后方程的(1)设P(，Y)，则B(2x一1，2y)，设椭圆等价性．中心为0，离心率为e，则IFOl：IBFI=e，二、典型例题剖析设点B到1的距离为d，则IBFI：d=P，IFOl：IBFI=IBFl：d，即(2x一2)+例1若P是双曲线一Y=1右支上的(2y)=2x(2x一2)，化简得尸点轨迹方程为一个动点，F是双曲线右焦点，已知A(3，1)，y2=一1(>1)．(2)设9(，)，)，则求ff+fPFf的最小值．IMQl=(—m)+

7、y分析首先根据题设条件画出图1，这是发现解题思路的前提条件．=~／(—m)+一1·=．·a=，b：1，√[一(m一÷)】+m一÷．’．．C=2，e=二=，a,／3令z=[一(m一号)r+m一÷．设点P与A到右准线距离分别为IP日I，当m一下1≤1即m≤3时IAA1．，，z在(1，．．+。。)上递增，t无最小值，故IMQI无最小’．·‘而：e。，’．。．。．·I‘PFI：I。PH1。．’值．·．．tt+tt=t+t删当一÷>1，即m>寻时，f在：m—≥3一l@Jf@：l、值m一5譬=吾．，故r——·．．

8、1f+ff的最小值为吾．MQn4m一亍·评注第(1)问考查了综合运用数学知识建立曲线方程的能力．第(2)问最值问题的A建立比较直接简单，难点在于如何求解含有参数及自变量有取值范围的函数最值．本题；主要运用了配方法求最值，考查了利用二次f函数的图象性质和分类讨论的思想求函数最图1值，字母常是引起分类讨论的一个点．本题需评注该题关键在于利用双曲线的第二要良好的分析问题和逻辑推理能力．定义把代数式转化为两线段的和，由平面几例3AB是抛物线Y=上的动弦，且何的知