机械波、光波、物质波波动方程比较-黄鹏辉

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1、目录1摘要..................................................12机械振动方程.............................................13机械波波动方程...........................................24光学波动方程.............................................35物质波波动方程[5]............................

2、............4第一步：德布罗意关系.........................................................................4第二步：自由粒子的波动方程.............................................................5第三步：力场中物质波方程条件.........................................................6第四步：一般薛定谔

3、方程.....................................................................7第五步：薛定谔方程的复指数解.........................................................8第六步：验证波的态叠加原理.............................................................9第七步：验证自由粒子波动方程....................

4、.....................................9第八步：定态薛定谔方程.....................................................................9方法一：基于标准波动方程..........................................................9方法二：从一般到特殊（定态）................................................1

5、0第九步：薛定谔方程引入的算符.......................................................11第十步：关于薛定谔方程的评论.......................................................116讨论.................................................12机械波、光波、物质波(薛定谔)波动方程比较——量子力学基础问题研究(一)黄鹏辉中国北京QQ及邮箱：6445371

6、51@qq.com，QQ群696570101摘要本文从弹簧振子振动方程出发，把机械波、光波、物质波三者的波动方程做了类比，并且从几个基本假设出发，推导了力场中的非相对论物质波方程，即一般薛定谔方程。一个意外的新结论是：一般薛定谔方程竟然有两个，分别对应着一正一负两个能量算符。联想到狄拉克把负能量处理为正电子，这一新结论的物理意义值得探讨。2机械振动方程2dψ首先，我们可以根据牛顿第二定律Fm==am=−kψ得到一维弹簧振子的如下振2dt动方程[1]。其中Ψ表示在振幅范围内振子的位置坐标，k为弹性系数，

7、m为弹簧振子质量，（之所以用Ψ而不是x表示坐标，是为了统一描述机械波、光波、物质波）2⎧dψ2⎪+ωψ=02⎪dt⎨(2.1)⎪kω=⎪⎩mω称为圆频率或角频率。(2.1)式的通解为（例题一：如何求解？）ψ=+CCcosωtsinωt(2.2)12这就是描述弹簧振子运动的普遍公式。其中C1和C2为任意常数，根据具体的初始条件1确定。我们可以采用一个数学技巧把(2.2)式化为单一正弦或余弦形式。令CC/==tanϕsin/cosϕϕ(2.3)12则(2.2)式可以化为如下形式Csinϕ1ψ=+=Ct12

8、2cosωCtsinωωC(costt+sinω)=C2(cosωt+sinωt)Ccosϕ2C222=+(sincosϕωωttcossin)ϕϕ=C+Csin(ωt+)12cosϕ即ψ=Atsin(ω+ϕ)(2.4)22为振幅，(ωt+ϕ)称为相位，这就是弹簧振子运动公式的正弦形式。式中A=+CC12ϕ是初始相位。注意A和ϕ都由C和C确定，也就是由初始条件确定。12如果(2.3)式定义成CC21/=tanϕ=sin/cosϕϕ，那么(2.2)式也可化