生活中的优化问题举例上课.ppt

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1、生活中的优化问题举例高二数学选修2-2第三章导数及其应用知识回顾一、如何判断函数函数的单调性？f(x)为增函数f(x)为减函数设函数y=f(x)在某个区间内可导，二、如何求函数的极值与最值？求函数极值的一般步骤（1）确定定义域（2）求导数f’(x)（3）求f’(x)=0的根（4）列表（5）判断求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值；(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b）比较,从而确定函数的最值。知识背景：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等

2、问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题.例1:海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128cm2,上下边各空2cm,左右各空1cm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解：设版心的高为xcm,则宽为此时四周空白面积为类型一：求面积、容积的最大问题分析：已知版心的面积，你能否设计出版心的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的

3、面积来？因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也是最小值点。所以，当版心高为16cm,宽为8cm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16cm,宽为8cm时，海报四周空白面积最小。求导数，有解得，x=16(x=-16舍去)解法二：由解法(一)得例2、在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？(P37T2改编)解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积V(x)=x2h=(60x2-x3

4、)/2(0

5、何图形，建立数学模型，列出函数关系式，可以利用两种方法求解：一是利用导数求最值；二是利用基本不等式求最值，无论使用哪种方法都应该注意自变量的取值范围。问题:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?类型二：利润最大问题规格（L）21.250.6价格（元）5.14.52.5例3：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则（1）对消费者而言

6、，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，(１)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+减函数↘增函数↗-1.07p∴每瓶饮料的利润：背景知识解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是当半径r＞２时，f’(r)

7、>0它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r＜２时，f’(r)<0它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．1.半径为２cm时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值２．半径为６cm时，利润最大231、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0,2、当半径为6cm时，利润最大。从图中可以看出:从图中，你还能看出什么吗？练习：某商品生产成本Ｃ与产量q的函数关系式为,价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时，利润L最大？练习P37T6例4：圆柱形金属饮料

8、罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？P37T3S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，则令解得，，解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积Rh类型三：用料最省、费用最低问题答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值当时，练习：如图,铁路线上AB段长100km,工厂C到铁路的距离CA=20km.现在要在AB上某一处D,向C修一条公路.已知铁路每吨千米与公路每吨千米