函数建模——实际问题的函数刻画

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1、i蘩l蘸陋问题的函数刻画漆光宗问题是数学的心脏．让我们先看一个实际问题：一、前提——理顺数量关系某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L一5．06x一应用题所用的数学语言多为“文字语0．15x。和L。一2x，其中z为销售量(单位：言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感觉．要认真阅读理辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则解材料，读懂题目所叙述的实际问题的意能获得的最大利润为．义，明确其中的数学本质，注意题目所约定本题牵涉到的量有很多：甲地销售利润的临时性定义．通过分析、画图、列表等方L，乙地销售利润_L，

2、甲、乙两地的销售量等法，快速理顺数量关系和数据的单位是函数等，注意到两地共销售15辆车，因此可设甲地建模的前提．销售-z辆，则乙地销售(15一z)辆，z一旦确例1一家报刊推销员从报社买进报纸定，则总利润S就相应确定，每一个z对应且的价格是每份0．20元，卖出的价格是每份只对应着唯一的总利润5，因此，总利润S可0．30元，卖不完的还可以以每份0．08元的以表示为关于z的函数：价格退回报社．在一个月(以3O天计算)有S===5．06x一0．15x+2(15-x)一2O天每天可卖出400份，其余10天只能卖一0．15x+3．06x+30(z≥0)．250份

3、，但每天从报社买进报纸的份数都相所以，当-z一1O时，S一45．6(万元)．同，问应该从报社买多少份才能使每月所获这一把实际问题转化为数学中的函数得的利润最大?并计算每月最多能赚多问题的过程，我们称之为建立函数模型，简少钱?称函数建模．函数模型是应用最广泛的数学解析函数建模的前提是理顺题中数模型之一，它在实际生活中的应用非常的广量关系，对于有些数量关系较复杂、较模糊泛，不同的函数模型能刻画出现实生活中不的问题，可以借助画图和列表来理清它．本同的变化规律．一旦实际问题中的变量与变题不妨设每天从报社买进报纸的份数为513∈量之间的关系被认定为是函数关系就

4、可以E25o，400]，则相关数据可以列表如下：将实际问题转化为数学问题，建立一个函数数量(份)价格(元)金额(元)模型，通过研究函数的性质，从而更好地去买进30xO．206x把握问题，分析问题，使实际问题得以解决．卖出2Ox+10×2500．306x+750那么，如何顺利、合理地建立函数模型解决问题呢?退回10(z一250)O．O80．8x一2O0罐鼢乏z}c最z咖站￡懒《_．．．~◆71i!iil!illl奠基反思i、归纳：0则每月获利润一[(6z+750)+(0．8x当z一14时，．y取得最大值，此时销售单爱—goo)]一6一0．8．z+55O

5、，当然还需要注意价应为14元，最大利润为360元．羞蓦鬻鬻≮^函数的定义域：xEEB5o，400]．因为在z解析二设每个商品提价为工元(z≥⋯∈E25o，4O0]上是一次函数且单调递增，所0且∈N)，利润为Y元，每天销售总额为以，当z一400份时，取得最大值870元．(10+)(i00一lOx)元，进货总额为8(100—答：每天从报社买进400份时，每月获1Ox)元，显然100—1Ox>0，即<10，的利润最大，最大利润为870元．则一(10+)(100—1Ox)一8(100—1Ox)一(2+z)(1OO一1Ox)，二、关键——构造目标函数一一10(

6、z一4)+360(0≤z<10)．当一4时，y取得最大值，此时销售单在一个变化过程中又往往有多个变量，价应为14元，最大利润为360元．应选取哪个变量作为函数的自变量，这直接点评本题在理顺了每个商品的售影响到解决问题的方法与速度．因此，在构价、提价额、每天的销售量、销售总额、进货造目标函数时，选择合适的自变量也是一个总额、利润等数量关系的前提下，关键抓住重要的环节，之后，抓住某些量之间的相等了“利润一销售总额一进货总额”这一相等关系将问题的目标表示为这个自变量的函关系列出等式从而将变量Y表示为的函数是函数建模的关键．数，在变量的选取上有两种方案：方案

7、一是例2某商人将进货单价为8元的某种把提价后的每个商品的售价作为自变量，方商品按10元一个销售时，每天可卖出100案二是把每个商品的提价额作为自变量．显个，现在他采用提高售价，减少进货量的办然方案二优于方案一，运算也相对简单．法增加利润，已知这种商品销售单价每涨l元，销售量就减少1O个，问他将售价每个定三、解模——利用函数性质为多少元时，才能使每天所赚的利润最大?并求出最大值．解模的过程就是根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择解析一本题若选取每个商品的售价函数知识，如通过研究函数的单调性，求函为自变量z元，利润为Y元，则每天的销售数

8、的值域、最大(小)值，计算函数的特殊值量为100—10(z一10)，销售总额为x[-lO0～等，求得函数模型