【教学设计】《实际问题的函数刻画》 （北师大）

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1、高中数学北师大版（必修一）畅言教育《实际问题的函数刻画》◆教材分析本课是北师大版普通高中数学必修一第四章第2节的内容。函数基本模型的应用是本章的重点内容之一，教科书用例题作示范，并配备了较多的实际问题让学生进行练习。教科书中还渗透了函数拟合的基本思想。通过本节学习让学生进一步熟练函数基本模型的应用，提高学生解决实际问题的能力。◆教学目标【知识与能力目标】能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题。【过程与方法目标】进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价。【情感态度价值观目标】 通过学习函数基本模

2、型的应用，体会实践与理论的关系，初步向学生渗透理论与实践的辩证关系，培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力。用心用情服务教育高中数学北师大版（必修一）畅言教育◆教学重难点◆【教学重点】利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题。【教学难点】将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价。◆课前准备◆电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。◆教学过程一、导入部分有一大群兔子在喝水、嬉戏，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋。1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌

3、，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只。可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口。这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至20世纪50年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气。二、研探新知，建构概念1.电子白板投影出上面实例。对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下，那么它将呈指数增长；但在自然状态下，种群数量一般符合对数增长模型。2.教师组织学生分组讨论：先让学

4、生分析，师生一起归纳。现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.用心用情服务教育高中数学北师大版（必修一）畅言教育对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型与所提供的数据的吻合程度，这就是用函数去刻画实际问题（即实际问题的函数刻画）三、质疑答辩，发展思维1.举例：我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元。小张准备下

5、个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时。设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x))元(15≤x≤40)，试求f(x))和g(x))。解：f(x)＝5x(15≤x≤40)；g(x)＝90,15≤x≤302(x-30)+90,30

6、(℃)410203038代谢率/4185J/(h·m2)60444040.554解：在这个实际问题中出现了两个变量：一个是环境温度；另一个是人体的代谢率。不难看出，对于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应，这就决定了一个函数关系。实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率，为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对实验值在直角坐标系中表示出来。在医学研究中，为了方便，常用折线把它们连接起来(如图1)。用心用情服务教育高中数学北师大版（必修一）畅言教育图1根据图像，可以看出下列性质：(1)代谢率曲线在小于20℃的范围内是下降的，在大于30℃的

7、范围内是上升的；(2)环境温度在20℃～30℃时，代谢率较低，并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大；(3)环境温度太低或太高时，它对代谢率有较大影响。所以，临床上做“基础代谢率”测定时，室温要保持在20℃～30℃之间，这样可以使环境温度的影响最小。例2某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去了200000元，生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元，产量x对总成本C、单位成本P、销售收入R以及利润L之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际含义？图3解：总成本C与产量x的关系为C＝200000＋300x；单

8、位成本P与产量x的关系为P=200000x+300；销售收入R与产量x的关系为R＝500x；利润L与产量x的