隐圆问题终稿 (1).pdf

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1、书山有路勤为径学海无涯苦作舟爱“躲猫猫”的圆之“圆”形毕露几何求最值是初中数学难点之一，而“隐圆”问题便是常见的一类考题，此类问题综合性强（常常会牵扯到三角形、四边形、甚至坐标系等问题），隐蔽性强（不容易想到），加上部分题目的计算量很大，很容易造成同学们的丢分。近年来在全国各地的中考或名校的模拟考试中经常会出现“隐圆”求最值的问题(2014、2015、2016、2017、2018连续五年陕西中考的压轴题的最后一问都牵扯到了隐圆）。此类题目出现的位置一般是在填空的最后一题或是压轴题，基本都是难题。广大学生在此问题上经常丢

2、分，甚至已经到了谈“隐圆”变色的地步。为此宁老师和靳老师针对此类问题进行归类整理，希望对同学们有所帮助。何谓“隐圆”？所谓“隐圆”就是题目中明明有圆或者牵扯到圆但做题的人就是看不见的圆，需要通过对题目的分析，找到题目条件隐藏下的圆。然后利用圆中的性质使得模糊问题清晰化、复杂问题简单化。那么哪些条件就会隐藏圆呢？方案一：当题目中出现到定点的距离等于定长的点（或动点）即可考虑“隐圆”。此即“定点定长存隐圆”。例1：如图在四边形OABC中，AB=OA=OB=OC，则∠ACB的大小为______度。例1题图分析：此题若直接从四

3、边形问题入手可能会比较棘手，甚至无从下手；但若观察到题目中A、B、C三点到O点的长度相等，想到“定点定长存隐圆”。那么A、B、C三点就在以O为圆心以OA为半径的圆上，此时问题就很容易解决了。例2：如图，地面OB与墙OA垂直，在墙与地面斜放一根8米长的竹竿MN，当竹竿的N端点由O点开始向右平移直至竹竿的M端点与O点重合时结束，此时竹竿的中点P的运动长度是______米。例2题图1宁老师&靳老师倾情奉献书山有路勤为径学海无涯苦作舟分析：要想求出P点运动的长度首先要知道P点是怎么走的也就是要知道P点的运动轨迹，观察到题目中P

4、点到O点的距离始终不变（直角三角形斜边中线等于斜边一半），即可确定P点的运动轨迹为以O为圆心以OP长为半径的弧，那么所求问题也就随之解决。方案二：在一个四边形中，若有一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。此即“对角互补存隐圆”。例：如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D为斜边AB的中点，E是AC上一动点，过点D作DF垂直DE交BC于F点，连接EF。则EF的最小值是________。分析：由题可知，在四边形EDFC中，∠ECF=∠EDF=90°（即对角互补），所以此时E、D、F、C四

5、点共圆，且EF为圆的直径。此问题即可转化成圆内问题进行解决。2宁老师&靳老师倾情奉献书山有路勤为径学海无涯苦作舟方案三：在一个动态三角形中，一条固定的边所对的角恒定不变，那么这三点（两定一动）在同一个圆（弧）上。此即“定线（弦）定角存隐圆”。在此应熟记特殊的圆周角所对的弦与半径之间的关系有助于我们快速理解及解决问题：圆周角为30°或150°所对弦长为r；圆周角为45°或135°所对弦长为2r；圆周角为60°或120°所对弦长为3r；圆周角为90°所对弦长为2r。例：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、AB上两个

6、动点，且CE=BF，连接DE，CF交于点P。连接BP，则BP的最小值是________。分析：根据题意不难判断△ECD≌△FBC，可得CF垂直DE。那么我们发现不论E、F两点如何运动，∠CPD始终是直角，并且∠CPD所对的边CD固定。所以点P的运动轨迹为以CD中1点O为圆心，以OC为半径的圆弧上。4通过上面的了解我们现在知道了怎样去找题目中的“隐圆”，但找到“隐圆”只是解决问题的第一步，我们的最终目的是通过圆的相关性质特点解决问题。下面我们就来看看可以利用圆中的哪些性质特点来解决什么样的问题。3宁老师&靳老师倾情奉献书

7、山有路勤为径学海无涯苦作舟爱“躲猫猫”的圆之“圆”来如此一．利用“直径是最长的弦”求最值知识原型：直径也是圆中的弦，并且是圆中最长的弦。（弦长≤直径）0例1.如图，在ΔABC中，∠C=90，AB=6，BC=8，D为AC边一动点，过点D作DE⊥DF，分别交AB边、BC边于E、F两点，则EF的最小值是。例1题图例1解答图o分析：由于在四边形EBFD中，DE⊥DF，∠B=90，所以E、B、F、D四点共圆（方案二），且EF为圆的直径。所以，要求EF的最小值其实质就是求圆的直径最小值。那么易知过B点和AC上动点D的圆中，当BD⊥

8、AC时圆的直径最小。附：过直线（线段）l外一点P与直线（线段）l上一动点M所做的圆中，当PM⊥l时(也就是直线（线段）l与所做圆相切时)圆最小（直径、半径最短）4宁老师&靳老师倾情奉献书山有路勤为径学海无涯苦作舟例2.如图，定长弦CD在以为AB直径的ΘO上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，