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1、厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，初中奥数学生群:253736211（2号群：126047790），初中奥数教练群112464128，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359全科资料下载公众号：新浪微博@郑剑雄微信：v136257437QQ：136257437第一讲注意添加平行线证题1为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例1设P、Q为线段BC
2、上两点,且BP＝CQ,A为BC外一动点(如图1).当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时,△ABC是什么三角形？试AD证明你的结论.答：当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时,△ABC为等腰三角形.证明：如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.在△DBP＝∠AQC中,显然BPQC∠DBP＝∠AQC,∠DPB＝∠C.图1由BP＝CQ,可知△DBP≌△AQC.有DP＝AC,∠BDP＝∠QAC.于是,DA∥BP,∠BAP＝∠BDP.则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故AB＝DP.所以AB＝AC.这里,通过作平行线,将∠
3、QAC“平推”到∠BDP的位置.由于A、D、B、P四点共圆,使证明很顺畅.例2如图2,四边形ABCD为平行四边形,∠BAF＝∠BCE.求证：∠EBA＝∠ADE.EP证明：如图2,分别过点A、B作ED、EC的平行线,得交点P,连PE.AGD由AB∥CD,易知△PBA≌△ECD.有＝PA＝ED,PB＝EC.BFC显然,四边形PBCE、PADE均为平行四边形.有∠BCE＝∠BPE,∠APE＝∠ADE.图2由∠BAF＝∠BCE,可知∠BAF＝∠BPE.有P、B、A、E四点共圆.于是,∠EBA＝∠APE.所以,∠EBA＝∠ADE.这里,通过添加平行线,使已
4、知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起来.∠APE成为∠EBA与∠ADE相等的媒介,证法很巧妙.1中考数学群：579251397，高考数学交流群：536036395，厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289，物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，初中奥数
5、学生群:253736211（2号群：126047790），初中奥数教练群112464128，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359全科资料下载公众号：新浪微博@郑剑雄微信：v136257437QQ：1362574372欲“送”线段到当处例3在△ABC中,BD、CE为角平分线,P为ED上任意一点.过P分别作AC、AB、BC的垂线,M、N、Q为垂足.求证：PM＋PN＝PQ.A证明：如图3,过点P作AB的平行线交BDNM于F,过点F作BC的平行线分别交PQ、ACEPD于K、G,连PG.由B
6、D平行∠ABC,可知点F到AB、BCFGK两边距离相等.有KQ＝PN.BCQEPEFCG显然,＝＝,可知PG∥EC.PDFDGD图3由CE平分∠BCA,知GP平分∠FGA.有PK＝PM.于是,PM＋PN＝PK＋KQ＝PQ.这里,通过添加平行线,将PQ“掐开”成两段,证得PM＝PK,就有PM＋PN＝PQ.证法非常简捷.3为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.例4设M1、M2是△ABC的BC边上的点,且BM1＝CM2.
7、任作一直线分别交AB、AC、AM1、AM2于P、Q、N1、N2.试证：AABACAM1AM2＋＝＋.APAQANAN12P证明：如图4,若PQ∥BC,易证结论成立.若PQ与BC不平行,设PQ交直线BCN1Q于D.过点A作PQ的平行线交直线BC于N2EE.BM1M2CD由BM1＝CM2,可知BE＋CE＝M1E＋图4M2E,易知ABBEACCE＝,＝,APDEAQDEAMMEAMME1122＝,＝.ANDEANDE12ABACBE+CEM1E+M2EAM1AM2则＋＝＝＝＋.APAQDEDEANAN12ABACAM1AM2所以,＋＝＋.APAQANA
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