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1、第一讲注意添加平行线证题1为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例1设P、Q为线段BC上两点,且BP＝CQ,A为BC外一动点(如图1).当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时,△ABC是什么三角形？试AD证明你的结论.答：当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时,△ABC为等腰三角形.证明：如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.在△DBP＝∠AQC中,显然BPQC∠DBP＝∠AQC,∠DPB＝∠C.图1由BP＝
2、CQ,可知△DBP≌△AQC.有DP＝AC,∠BDP＝∠QAC.于是,DA∥BP,∠BAP＝∠BDP.则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故AB＝DP.所以AB＝AC.这里,通过作平行线,将∠QAC“平推”到∠BDP的位置.由于A、D、B、P四点共圆,使证明很顺畅.例2如图2,四边形ABCD为平行四边形,∠BAF＝∠BCE.求证：∠EBA＝∠ADE.EP证明：如图2,分别过点A、B作ED、EC的平行线,得交点P,连PE.AGD由AB∥CD,易知△PBA≌△ECD.有＝PA＝ED,PB＝EC.BFC显然,四边形PBCE、PADE均为平
3、行四边形.有∠BCE＝∠BPE,∠APE＝∠ADE.图2由∠BAF＝∠BCE,可知∠BAF＝∠BPE.有P、B、A、E四点共圆.于是,∠EBA＝∠APE.所以,∠EBA＝∠ADE.这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起来.∠APE成为∠EBA与∠ADE相等的媒介,证法很巧妙.2欲“送”线段到当处例3在△ABC中,BD、CE为角平分线,P为ED上任意一点.过P分别作AC、AB、BC的垂线,M、N、Q为垂足.求证：PM＋PN＝PQ.A证明：如图3,过点P作AB的平行线交BDNM于F,过点F作BC的平行线分别交P
4、Q、ACEPD于K、G,连PG.由BD平行∠ABC,可知点F到AB、BCFGK两边距离相等.有KQ＝PN.BCQEPEFCG显然,＝＝,可知PG∥EC.PDFDGD图3由CE平分∠BCA,知GP平分∠FGA.有PK＝PM.于是,PM＋PN＝PK＋KQ＝PQ.这里,通过添加平行线,将PQ“掐开”成两段,证得PM＝PK,就有PM＋PN＝PQ.证法非常简捷.3为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.例4设M1、M2是△ABC的
5、BC边上的点,且BM1＝CM2.任作一直线分别交AB、AC、AM1、AM2于P、Q、N1、N2.试证：AABACAM1AM2＋＝＋.APAQANAN12P证明：如图4,若PQ∥BC,易证结论成立.若PQ与BC不平行,设PQ交直线BCN1Q于D.过点A作PQ的平行线交直线BC于N2EE.BM1M2CD由BM1＝CM2,可知BE＋CE＝M1E＋图4M2E,易知ABBEACCE＝,＝,APDEAQDEAMMEAMME1122＝,＝.ANDEANDE12ABACBE+CEM1E+M2EAM1AM2则＋＝＝＝＋.APAQDEDEANAN12ABACAM1AM2
6、所以,＋＝＋.APAQANAN12这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE,于是问题迎刃而解.例5AD是△ABC的高线,K为AD上一点,BK交AC于E,CK交AB于F.求证：∠FDA＝∠EDA.证明：如图5,过点A作BC的平行线,分MPAQN别交直线DE、DF、BE、CF于Q、P、N、M.FKEBDKDDC显然,＝＝.ANKAAM有BD·AM＝DC·AN.(1)APAFAMBC由＝＝,有DBDFBBC图5BD·AMAP＝.(2)BCAQAEAN由＝＝,有DCECBCDC·ANAQ＝.(3)BC对比(1)、(2)、(3
7、)有AP＝AQ.显然AD为PQ的中垂线,故AD平分∠PDQ.所以,∠FDA＝∠EDA.这里,原题并未涉及线段比,添加BC的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP与AQ的相等关系显现出来.4为了线段相等的传递例6在△ABC中,AD是BC边上的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且∠MDN1＝90°.如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2,求证：AD2＝(AB2＋AC2).4A证明：如图6,过点B作AC的平行线交ND延长线于E.连ME.MN由BD＝DC,可知ED＝DN.有CB△BED≌△CND.D于是,BE＝NC.E显然,MD为EN
8、的中垂线.有图6EM＝MN.由BM2＋BE2＝BM2＋NC2＝MD2＋DN2＝MN2＝EM2,可知△BEM为
