关于极大子群的指数复合.pdf

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1、第Z0卷第3期北京建筑工程学院学报Vol.Z0No.3Z004年9月JournalofbeiingInstituteofcivilEng.andArchitectureSep.Z004文章编号!1004-601103-0073-04关于极大子群的指数复合。王晓静19张艳19曹彩霞Z<1.基础部,北京100044~Z.北京联合大学基础部,北京100101>摘要!利用Deskins在1959年所定义的有限群的极大子群的指数复合9得到关于群的可解性和超可解性一些新的刻划.主要结果如下:1假设F'{M:M为G的包含某Syz子群正规化子的极大子G=群9且

2、G=M

3、为合数}9则

4、下列命题是等价的:iG是可解的;ii对于每个MeF'9存在一个极大完G备C9使得对于任意IeG9CI（M9并且CKC幂零.iii对于每个MeF'G9存在一个极大完备C9使得CKC或可换9或者满足G=CM9且CKC的阶无平方因子.Z有限群G是超可解的当且仅当对于每个MeF'9存在一个极大完备C9使得G=CM且CKC的阶无平方因子.G关键词!极大子群;指数复合;极大完备;正规完备中图分类号!O15Z文献标识码!A赋予有限群的极大子群一些条件,考察这些条令F'G=

5、G=M

6、为合数}.令人感

7、兴趣的课题.Deskins[1]引入了极大子群的定义1.1若F',令"'=n

8、MeG=!指数复合的概念.这个概念对于研F'G},否则令"'=G.究有限群的构造提供了一条好的途径.关于这个课注由[6,定理7.Z5]易知G为超可解群的充题的研究发表了一系列的文章[Z!4,7,8].要条件是"'=G.在[Z]中,作者证明了下述定理=有限群G是可定义1.2群G的子群C称为极大子群M的完解的当且仅当对于每个合数指数的极大子群M,存备,若C不含于M但所有真含于C的G-正规子群在一个极大完备C,使得对于任意IeG,GI（M,均含于M.记I

9、>为M在G中的所有完备的集合,并且C/K幂零.文[3]利用极大完备获得超可并称之为M在G中的指数复合.解群的一个刻划=有限群G是超可解的当且仅当对注1Deskins在[7]中证明了I非空.于每个合数指数的极大子群M,存在一个极大完备注Z以K表示C的所有真G-正规子群C,使得G=CM并且C/K的阶无平方因子.继的乘积,显然当CeI时,有K＜C.续极大完备的研究,得到关于群的可解性和超可解注3I中元素依集合包含关系所成偏序性的一些新的刻划.的极大元称为M的极大完备.若CeI且C＜G[5]所用的符号及概念都是标准的,涉及的群皆则称C为M

10、的正规完备,显然正规完备为极大完指有限群,对群G的子群H,记H在G中的共轭交备.为CeH.我们注意到对群G的任一极大子群M,P=羊!.令A为!预备知识P中的极小元,显然A为M的正规完备,所以对G的任一极大子群M来说,I中必有正规完备.。收稿日期!Z004-08-30作者简介!王晓静<197Z年->,女,理学硕士,讲师,主要从事有限群论方面的研究.74北京建筑工程学院学报第Z0卷定义1.3群X称为群Y的一个截断如果X=UMU（M并且M/NZNG/N=是Y的一个子群的同态像.NG/NZNG

N/N故MZN

11、G

由引引理1.1设N＜GPeSyzPN存在GPe理1.1知存在GPeSyzP使MZNG

ZSyzPG使得NG

ZNG.NG再者

12、G=M

13、=

14、U=UnM

15、=1Ld

证明:由Syz定理知存在GPeSyzPG使得P故

16、G=M

17、为合数于是MeF'G.二GP从而P二NnGP故P二NnGP.任给Ie由假设存在一个极大完备C使得对于任意I>则GI而N＜GPIIING=eGC（M并且C/K幂零.显然U/N不是IIGPnN=P即IeNG

NG

ZNG.C/K的截断故由引理1.Z得N=K且C!3"

18、引理1.2设G是一个群N＜G使得G/N为UC的极大子群.现在UC/N包含一个幂零极大有唯一极小正规子群U/N.令M是G的一个极大子子群C/N由5IX定理3.5]知C/N是偶阶群.群满足:M包含N但不包含U.令C是I的一个又因为U/N是G/N的唯一极小正规子群且非可极大元.进一步假定U/N不是C/K的截断那解故C=N.所以UC/N中不可能包含正G么规幂零子群于是C/N必为Hall子群由<1>N=K5IX定理3.4]推出C/N是一个Z-子群特别C是UC的极大子群