厦门大学《电磁场与电磁波》课程试卷

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1、厦门大学《电磁场与电磁波》课程试卷信息学院电子工程系04年级电子工程专业主考教师：李伟文试卷类型：（A卷）(答案及评分标准)1．（10分）下面矢量：22A=e (3y -2x )+e x +e 2z xy z 是否可由一个标量函数的梯度表示？是否可用由一个矢量函数的旋度来表示？求出该矢量的源分布。分析：一个无旋矢量场可用一个标量函数的梯度表示；一个无散矢量场可用一个矢量函数的旋度表示。若矢量的散度或旋度不为零，则分别表示了该矢量的源分布。解：在直角坐标系中，A的散度与旋度分别为：rr¶Az ¶Ay r¶Ax ¶Az r¶Ay ¶Ax Ñ´A=e (

2、-)+e (-)+e (-)xy z ¶y ¶z¶z¶x ¶x ¶y r¶¶2r¶2¶r¶2¶2=e [(2 z)-(x )]+e [(3 y -2 x )-(2 z)]+e [(x )-(3 y -2 x )]x y z ¶y ¶z¶z¶x ¶x ¶y r=0 +0 +e (2 x -6 y )z r=e (2 x -6 y )z r¶A ¶A ¶A x y z Ñ×A =++¶x ¶y ¶z ¶2¶2¶=(3y -2x )+(x )+(2z )4 分¶x ¶y ¶z =-2+0+2=0可见，矢量A是一个无散有旋场。由于是无散度，因此该矢量可用一

3、个矢量的旋度可表示，但不能用一个标量函数的梯度可表示。2 分该矢量的源（旋度源）分布为：rrÑ´A =e (2x -6y )4 分z2．（10分）一球壳体的内外半径分别为a和b，壳体中均匀分布着电荷，电荷密度为r。试求离球心为r处的电场强度。1 bra解：以球壳心为球心，r为半径作球面（高斯面）S。由对称性和高斯定理得：rr1 2òòE×d S =4p×rE=Q 3 分eS0式中Q 是S面所包住的电荷量的代数和。r

4、)3 分33er04p33r>b（壳体外）：Q=r(b-a)，所以3rrr33rE=(b -a )33er0r式中r 为从球壳心到场点的位矢。2 分3．（10分）电荷量q均匀分布在长为4l的一段直线上，在电荷分布不变的情况下，把这段直线弯成边长为l的正方形。试求在正方形轴线上离中心为r处的电势。l lOrPl l 2 解：P点的电势为：l 1 q dx U =4 2ò-l24 pe04 l 22l 2r++x 4 l q æl 2öx ==ln çr2++x 2+x ÷2 6 分4 pel ç4 ÷l 0èøx =-2 æl 2l öçr2++÷q

5、 ç2 2 ÷=ln 4 pel çl 2l ÷0ç2÷çr+-÷è2 2 ø由此式也可改写为：æl2löçr 2++÷qç22÷U=ln4 分2pelç2÷0ç2l÷çr +÷è4ødx22注：用到积分公式：ò=ln(x +a +x )+c 22a +x 4．（20分）平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距离为d。电容量的一半厚度（0~d/2）用介电常数为e的电介质填充，如下图所示。板上外加电压为U0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷和电容器的电容量。d/2U0d/2errrr解：设介质中的电场为E =e E ；空气中的电场为E =e E z

6、 0z 0由D =D0，有eE=eE2 分00又由3 ddE+E =0-U0022由以上两式可得：2 eU 00E=-(e+e)d 04 分2 eU 0E=-0(e+e)d 0故下极板的自由电荷面密度为：2 eeU 00s=eE=-下(e+e)d 0上极板的自由电荷面密度为：2 eeU 00s=-eE=4 分上00(e+e)d 0电介质中的极化强度为：rrr2 e(e-e)U 000P=(e-e)E=-e 2 分0z(e+e)d 0故下表面上的束缚电荷面密度为rr2 e(e-e)U 000s=-e P=P下z (e+e)d 0上表面的束缚电荷面密度

7、为rr2 e(e-e)U 000s=e P=-4 分P上z (e+e)d 0由极板上带电量为2 eeU 00Q=s×S =ab 2 分(e+e)d 0故电容器的电容量为Q 2 eeab 0C==2 分U (e+e)d 05．（10 分）两平行板金属板，面积都是a×b，相距为d，其间充满电容率为e的均匀介质，两极板接到电压为U 的电源上；现在将这介质沿平行于b 边抽出一段，如图所示。略去4 边缘效应，试求电场把介质拉回去的力。bU d e解法1：把电容器与电源作为一个系统，这时计算力时求偏导前要加负号。设抽出的一段介质长为x，这时电容器的电容为e0a

8、x ea (b -x )C=+xd d 3 分a [eb -(e-e)x ]0=d 所蓄的电荷量为a[eb-(e-e)x