一个不等式问题的教学与思考

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1、2010年第49卷第7期数学通报37一个不等式问题的教学与思考朱胜强(南京外国语学校210O08)在不等式的教学中，经常会遇到下面这样的时，不等式的解集为f—o3，—14-~／m2—-m+l1U问题：、／问题设不等式。一2x—in+1<0对于满足一2≤≤2的m值都成立，求的取值(，+。。)．范围．学生的真正的难处在于不知如何找到同时属通常我们会向学生介绍如下的解法：于上面三个集合的所有z．解厂()一(z。一1)m一2x+1，z。一2x一研+1<0即_厂()<0．又因为f(m)的图象是一首先比较丢，—1-—~—／m2-—m—H-1，—14—-~—／m2-—m一4-1条直线，

2、因此当m∈[一2，2]时，f()<0恒成的大小．立，当且仅当{。．因为()一2×丢一+一一寻，即』2(z。一1)一2lz+1O时，一手<。，所以Tn二’【一2(。一1)一2x+1<0解得。，所以此解法思路巧妙，过程简洁．但教学中发现，<<．过一段时间后能顺利求解这一问题的学生很少．这说明平常将看似很好的方法直接灌输给学生，因此，所求的z一定介于其教学的有效性是很低的，学生对解题方法的认2-===1—-—~—／m．—m一+l(∈[一_2，O))的最大值与识仅停留在赏析的层面上，没能在大脑中留下太深刻的印象．

3、对这一问题怎样教学，才能收到好的三丑(m∈(oz：：：，2])的最小值之间．效果呢?笔者对此做了一些初步探索．1从学生最擅长的方法入手若m∈(0，2]，1E『l1，+。。)，，面对上述问题，若问学生该怎么办?绝大多数学生都会想到将关于-z的不等式解出，也就是1+~／：一1．zz一一—————一一十孵，当先用表示不等式的解集，再找出当在[一2，2]中变化时能够属于每一解集的所有．1~[L-1，+。。)内增大时，-zz单调递增．所以当易知，当∈(0，2]时，不等式的解集为1一、，二干T14-~／—m2-m—2c-11；当一0一2扎取得最小值；时，不等式的解集为(1，+。。)；

4、当∈[一2，o)若∈[一2，0)，一1一～__l一38数学通报2010年第49卷第7期从这一求解过程中，学生体会到，将一个不等一(一)+√+(一)+(一)。．令==一，式作等价变形后，就有了用新的数学模型解决问题的机会．因此，合理地对不等式作等价变形，就则∈『1，+。。)且z一一￡+干_．又z，可能获得解决问题的新方法．厂—————Tt-+：3引导学生突破既有框框的约束===一十号-1+tz。-<。，所本题涉及的数学模型是一元二次不等式，虽一+然对于一元二次方程，二次函数、一元二次不等式以当在『丢，十Cx3)上增大时，z单调递减．故当这三个“二次”之间的关系学生已是十分清

5、楚，但在应用上还缺少主动性．这表现在研究不等式这1一，即m一～2时，有最大值．样的代数问题时，学生仍习惯于在代数方法中找答案．这时就需要教师作适当的引导、点拨．所以z的取值GNU(-1+,／~，)．在老师的启发下，有人想到画函数-厂()一虽然计算十分繁琐，但学生较愿意接受这一mx。一2z—十1的图象，但画出的抛物线的开口方法，毕竟这是学生最容易想到的方法．能否找一方向、对称轴及与y轴的交点均随的变化而变种既很自然又不怎么复杂的解法呢?化，不易把握．2在反思中优化解题方法题目给出的不等式并不复杂，问题变得复杂的原因在于用m来表示对应方程根，因求根公式的形式复杂，从而带来了计

6、算的困难，能回避求根公式吗?学生发现，用求得的根来限制．22的范围，是一种描述变量不等关系的方法．同一不等关系，可以有不同的表达方式．因此，当求出的根太复杂时，图1是否可以考虑不求根，而改用限制32的解析式有没有办法让图象尽可能地不随m的变化呢，也就是通常所说的分离参数．而变化呢?大家想到了将参数相对集中，将原原不等式可化为m(x一1)~2x-1，不等式化为m(x一1)<2一1．(1)当。一1>0时，不等式可化为<考虑函数g(z)一m(x一1)与h(z)一2x一12x-17二，由不等式对一切∈[一2，2]恒成立，得的图象，当m在[～2，2]中变化时，g()的图象是开口向上

7、、向下的抛物线或直线，不等式g(z)<>2，h(z)恒成立，即h()图象上的点恒在g()的图象的上方．所有这些点的横坐标即为所求的z的解得1<<；范围．(2)当z一1<0时，不等式可化为m>观察画出的g()与^(z)的图象(如图1)，分2x-1别求出当m一一2及m一2时的抛物线一，由不等式对一切∈[一2，2]恒成立．得一2(。一1)，y一2(一1)与直线y一2x一1在第<_2，解得<<1．一象限的交点的横标，．可知，z的又当一1时，不等式(。一1)<2x一1对取值范围是(下-1+~-，。一切m∈[一2，2]均成立．综上可知，的