第一章习题解答及参考答案

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1、第一章傅里叶分析部份习题解答及参考答案[1-1]试分别写出图X1－1中所示图形的函数表达式。图X1-1习题[1-1]各函数图形æx-x0öæxöæxö解：(a)aÙç÷(b)arectç÷-(a-b)Ùç÷èLøè2LøèLøæxöæxö(c)arectç÷sgn()x(d)rectç÷cosxè2Løè2Lø[1-2]试证明下列各式。æ1öæ1öæxöipx(1)combçx-÷=combçx+÷(2)combç÷=comb()x+comb()xeè2øè2øè2øsin(Npx)sin(wx)(3)comb()x=lim(4)d()x=limN®¥sin(px)w®

2、¥px1¥1¥±iwx(5)d()x=òcos(wx)dw(6)d()x=òedw2p-¥2p-¥¥¥æ1öæ1ö解：(1)原式左端=ådçx--n÷=ådçx--m+1÷令(n=m-1)n=-¥è2øm=-¥è2ø¥æ1ö=ådçx+-m÷=右端m=-¥è2ø¥¥æxöæxö(2)combç÷=ådç-n÷=2åd(x-2n)2n只取偶数è2øn=-¥è2øn=-¥¥comb()x=åd(x-m)m=-¥¥¥æxöipximpcombç÷e=åd(x-m)e=åd(x-m)cosmpè2øm=-¥m=-¥ipx当m=奇数时，comb(x)+comb(x)e=0；当m=

3、偶数时，令m=2n，则cos2px=1，并且有：¥ipxcomb()x+comb()xe=2åd(x-2n)得证。n=-¥(3)由公式(1-8-7)知：¥-i2pnxcomb()x=åen=-¥上式可视为等比级数求和，其前N项之和为：(N)-i2pNx-ipNx(ipNx-ipNx)()a1-q1-eee-esinpNx1S====N-i2px-ipx(ipx-ipx)()1-q1-eee-esinpxsin(pNx)所以comb()x=limS=lim得证。NN®¥N®¥sin(px)¥sinx(4)首先可以证明：òdx=p，遂有：-¥x¥sin(wx)¥sin(wx

4、)òdx=òd(wx)=p-¥x-¥wx¥sin(wx)所以òdx=1-¥pxæwxöwsinéùëûp(wpx)wwæö又有sinç÷==sincxç÷èpxxøpp(wp)ppèøsin(wx)ì¥x=0故lim=í(sin0cx函数在=处存在尖峰)w®¥pxî0x¹0而对于任一函数f(x)有：¥ésin(wx)ùé-p/wp/w¥ùésin(wx)ùò-¥êwlim®¥pxúf()xdx=êëò-¥+ò-p/w+òp/wúûêwlim®¥pxúf()xdxëûëûp/wsin(wx)=0+limòf()xdx+0=f()0w®¥-p/wpx故该函数符合d函数的定义

5、，可作为定义d函数的原函数之一。sin(wx)(5)利用(4)的结果有：lim=pd()xw®¥x故得：¥WWcos(wx)ò-¥cos(wx)dw=Wlim®¥ò-Wcos(wx)dw=Wlim®¥ò-Wd(wx)x2Wsin(Wx)=limòcos(wx)(dwx)=2lim=2pd()x证毕。W®¥x0W®¥x(6)利用(5)的结果，并由复指数公式展开得：1¥±iwx1¥1¥ò-¥edw=ò-¥[cos(wx)±isin(wx)]dw=ò-¥cos(wx)dw=d()x2p2p2p[1-3]计算下列积分式。¥¥(1)òf(x)sin(px)d(x)dx(2)òf(

6、x)cos(px)d(x)dx-¥-¥¥21¥(2)p(3)òrect(x-a)d(2a-)da(4)òd(x-)cos()xdx-¥2-¥2参考答案：(1)0(2)f(0)1éæ1öæ1öù1æxö(3)êrectçx-÷+rectçx+÷ú=rectç÷(4)02ëè2øè2øû2è2ø[1-4]计算下列各式的一维卷积。æx-1öæx+3ö(1)rectç÷*d(2x-3)(2)rectç÷*d(x-4)*d(x-1)è2øè2ø(3)rect(x)*comb(x)1æx-2.5öæx-2ö参考答案：(1)rectç÷(2)rectç÷(3)12è2øè2ø[1-5

7、]试采用图解分析方法计算下列函数(1)图X1-2所示的二函数：f(x)*h(x)图X1-2习题[1-5](1)图示的二函数æx-1ö(2)rect()x*rectç÷è2ø的卷积，并画出卷积后的图形。解：(1)首先将函数f(x),h(x)中的变量x写成x，再将h(x)翻转，并沿x轴移动x，如附图1-1所示。利用图解分析法，显然有：①当-1£x£0时(见图(a)),x+11113f()x*h()x=ò(1-x)(1+x-x)dx=+x-x0326②当0