第二章习题解答及参考答案

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1、第二章标量衍射理论部分习题解答及参考答案[2-1]在基尔霍夫衍射公式（2-2-16）或（2-2-20）中，同时对光场及其法向导数施加了边界条件，从而导致了理论本身的不自恰性。为了消除这种不自恰性，索末菲选择了换用格林函数的办法，使新的格林函数或其法向导数在表面S上为0,这时就不必同时对光场及其法1~向导数施加边界条件。例如，可以选择G同时由观察点P及其对衍射屏的镜对称点P各00ikrik~re01e01~~自出发的同相位的单位振幅的球面波给定（图X2-1）,即G+=+~式中，r01是P0rr0101点与P点间的距离。1(1)试

2、求：G(P)在衍射屏上的法向导数；+(2)欲将观察点的复振幅用衍射孔S上的光扰动来表示，需要什么样的边界条件？(3)利用(2)的结果，求出孔径被从P点发出的单色球面波照明时，U(P)的表达式。20图X2-1习题[2-1]图示解：由题设有：ìG(P)=2erikr01/+101ïí¶GP()æ11öeeikr01æöikr%01+1ï=cos(n,r01)çik-÷+cos(n,0r%01)ç÷ik-=¶èrørèørr%%în01010101将上述结果代入式（2-2-16）得：¶¶UUeikr0111u(p)=G+=ddSS0

3、42ppòòS¶¶n+òònrå01¶Uikr这时只需对应用基尔霍夫边界条件。当U(P)=Ae21/r时，则有：121¶nU(P)æ1öeikr21¶1()ç÷()ikr21=Acosn,rik-»Aikcosn,re/r21ç÷2121¶nrrè21ø21Aeik(r01+r21)最后得：U(P)=-òòcos(n,r)dS021ilårr0121ikrik~re01e01[2-2]如果选择格林函数为：G=--~rr0101~其中“－”号表示由P点和P点发出的球面波的位相正好相反。在此条件下，完成上题中00的(1)、(2)和

4、(3)。解：由题设有：ìGP-(1)=0ï¶Gæ11öeeikr01æöikr%01ï-ï=cos(n,r01)çik-÷--cos,(nr%01)ç÷ik¶nèrørèørr%%ï01010101íæöikr01ï1e=-2cos,(nr01)ç÷ikïrrèø0101ïikrïî»×2ikcos,(nre01)/r01ikr011e将上述结果代入式（2-2-16）得：U(p)=U(P)cos(n,r)dS0òòå101ilr01于是只需对U施加基尔霍夫边界条件。[2-3]在圆孔的夫琅和费衍射花样中，设观察平面上的总光能流为

5、I,半径为r的圆面内所分0布的光能流等于I(r)，它占总光能流的百分比为F(r).试求出F(r)的表达式，并与教材i000中表2-5-1进行比较。解：由公式（2-5-8）和（2-5-9），分布在小圆环2prdr上的光能流等于2pI(r)rdr，其中I(r)ækdröç0÷是光能流密度（光强度），它是y=的函数。在半径为r的圆面积内所分布的光能流ç÷0è2zø22r0y2lplz2I0ælzöyéJ1()yù为：Ii()r0=ò0I()r2prdr=ò0I()ry×dy=ç÷ò0êúydydpdpèdøëyû而分布在整个观察平面

6、上的光能流为：222I0ælzö¥éJ1()yùIs=ç÷ò0êúydypèdøëyû2222I()ryéJ()yù¥éJ()yùyéJ()yù¥J()yi01111故：F()r0==ò0êúydy/ò0êúydy=ò0êúdy/ò0dyIsëyûëyûëyûy根据贝塞尔函数公式：ìd[xJ1()x]=xJ0()x®J1(y)=J0()y-J1¢()y(1)ïïdxyíïd[x-nJ()x]=-x-nJ()x¾¾®¾J()x=-J¢()yïîdxnn+1(n=0)10()2由J(y)´(1)得：12()J1y()()()()[

7、()()()()]1d[2()2()]=JyJy-JyJ¢y=-JyJ¢y+JyJ¢y=-Jy+Jy1011001101y2dy22222222所以F(r)=[J(y)+J(y)-J(0)-J(0)]/[J(¥)+J(¥)-J(0)-J(0)]001010101因J(0)=1,J(¥)=J(0)=J(¥)=0001122故：F(r)=1-J(y)-J(y)001附图2-1F(r)随y变化0其函数曲线如附图2-1所示，与第一，第二和第三暗环（即当y=3。832，7。015和10。173时）对应的F(r)值分别为0。839，0。9

8、10和0。938，因而，大约84%的光能包含在以第1暗环为界限的圆内，大约7%的光能包含在第一和第二暗环之间，等等。[2-4]试证明关系式（2-5-15）。解：圆环光孔的面积为：2()22(2)D=pa-pea=pa1-e将上式代入式（2-5-14）得：222CDìüïïé2