材料力学 第五章 梁的弯曲应力及弯曲中心

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1、材料力学第五章弯曲应力主讲：韩玉林东南大学工程力学系zxy回顾力偶矩矢量的定义，对轴的力偶矩的定义横截面上力偶矩的三个分量分别是：目的：说明弯矩是对z轴的力偶矩§5-1纯弯曲PPABCDaa纯弯曲：PlPFM=0，=constFssP横力弯曲：FMs≠，≠00PMPadAdAdAMdAFsdAdAFsdAMMFs在横截面上，只有法向内力元素dF=σdA才能N合成弯矩M；只有切向内力元素dF=τdA才能s合成剪力Fs§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力变形几何关系从三方面考虑：物理关系静力学关系变形

2、几何关系：解决横截面上应变的分布特征物理关系：得到横截面上应力的分布特征静力学关系：得到横截面上应力的具体分布函数轴向拉压•变形几何关系：横截面上线应变是均匀分布•物理关系：得到横截面上正应力为均匀分布•静力学关系：横截面上应力的具体分布函数FNA圆轴的纯扭转•变形几何关系：横截面上切应变是线性分布ddx•物理关系：得到横截面上切应变为线性分布dGdx•静力学关系：横截面上应力的具体分布函数dTTdxGIpIp纯弯曲时梁横截面上的正应力变形几何关系？从三方面考虑：物理关系？静力学关系？纯弯曲

3、时梁横截面上的正应力变形几何关系：平面假设，应变分布特征物理关系：虎克定律，应力分布特征静力学关系：分布力系同其合力（内力）的关系mmnmaa一、变形几何关系bbmnmm观察到以下变形现象:(1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长(2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为弧线的aa，bb垂直(3)部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段伸长。梁在纯弯曲时的平面假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单

4、向受拉或受压的状态。推论：梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴中性轴中性层中性层()yddyddyzydxy二、物理关系yEE正应力与它到中性层的距离成正比，中性层上的正应力为零上式只能用于定性分析，而不能用于定量计算：1）由于中性轴z的位置未确定，故y无法标定；2）式中未知，（若已知M，与M有何关系？）三、静力学关系设中性轴为zFdA0NAMzAy

5、d0yAzdAMyAzdMAyEFANd0Ed0AydA0AAAydASz0中性轴Z必过截面形心A横截面对Z轴的静矩yEMzAyd0zEdAzydA0AAAzydAIyz0A截面对yz轴的惯性积由于y为对称轴、上式自然满足。y12MyAzdMyEAEddyAMAAA2令：IzydA1MAEIz截面对z轴的惯性矩中性轴过截面形心1M中性层的曲率公式：EIzMy正应力计算公式：Iz横截面上的最大正应力：

6、My1My2t,cIZIZ当中性轴是横截面的对称轴时：yyy12maxtcmaxMymaxMmaxIZWZIzWzymaxWz称为抗弯截面模量公式适用条件：1）符合平面弯曲条件（平面假设，横截面具有一根对称轴）2）(材料服从虎克定律）p1）沿y轴线性分布，同一坐标y处，正应力相等。中性轴上正应力为零。2）中性轴将截面分为受拉、受压两个区域。3）最大正应力发生在距中性轴最远处。简单截面的惯性矩的计算矩形：Iy2dAdyzAbh3y12h/22ybdyh/23hb同理:Iy12圆及

7、圆环：222方程：zyRy2IydAzA22dA2dyRydyRy222IyRy2dyzR0Z44RD4642(实际：IdA()y22zdApAA422DydAzdAII2IzyzAA32ID4yzII)zy264圆环：IIIIyzz大z小x44Dd6464d4D4D1()64d其中D32bhbhIZ,WZ12643DDIZ,WZ6432444()DdD4IZ()164643D4WZ()132§5-3

8、横力弯曲时的正应力正应力强度计算MyIz1)上式是在平面假设平面假设和单向受力假设单向受力假设的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。2)对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。3)弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨度