梁的弯曲应力

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1、-31-第8章梁的弯曲应力梁在荷载作用下，横截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩；而剪力是切于横截面的分布内力的合力。所以，弯矩只与横截面上的正应力σ相关，而剪力只与剪应力τ相关。本章研究正应力σ和剪应力τ的分布规律，从而对平面弯曲梁的强度进行计算。并简要介绍一点的应力状态和强度理论。8.1梁的弯曲正应力平面弯曲情况下，一般梁横截面上既有弯矩又有剪力，如图8.1所示梁的AC、DB段。而在CD段内，梁横截面上剪力等于零，而只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。下面推导梁纯弯曲时横截面上的

2、正应力公式。应综合考虑变形几何关系、物理关系和静力学关系等三个方面。8.1.1弯曲正应力一般公式1、变形几何关系为研究梁弯曲时的变形规律，可通过试验，观察弯曲变形的现象。取一具有对称截面的矩形截面梁，在其中段的侧面上，画两条垂直于梁轴线的横线mm和nn，再在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线ab和cd，如图8.2(a)所示。然后按图8.1(a)所示施加荷载，使梁的中段处于纯弯曲状态。从试验中可以观察到图8.2(b)情况：（1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交，只是横线间作相对转动。（2）纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线缩短，靠近梁底面的纵

3、线伸长。（3）在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵线缩短区，梁的宽度则增加，情况与轴向拉、压时的变形相似。根据上述现象，对梁内变形与受力作如下假设：变形后，横截面仍保持平面，且仍与纵线正交；同时，梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。前者称为弯曲平面假设；后者称为单向受力假设。-31--31-根据平面假设，横截面上各点处均无剪切变形，因此，纯弯时梁的横截面上不存在剪应力。根据平面假设，梁弯曲时部分纤维伸长，部分纤维缩短，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层，如图8.2(c)所示。中性层与横截面的交线称为中性轴。对于具有对

4、称截面的梁，在平面弯曲的情况下，由于荷载及梁的变形都对称于纵向对称面，因而中性轴必与截面的对称轴垂直。综上所述，纯弯曲时梁的所有横截面保持平面，仍与变弯后的梁轴正交，并绕中性轴作相对转动，而所有纵向纤维则均处于单向受力状态。从梁中截取一微段dx，取梁横截面的对称轴为y轴，且向下为正，如图8.3(b)所示，以中性轴为y轴，但中性轴的确切位置尚待确定。根据平面假设，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性轴相对旋转了一个角度dθ，并仍保持为平面。中性层的曲率半径为ρ，因中性层在梁弯曲后的长度不变，所以又坐标为y的纵向纤维ab变形前的长度为变

5、形后为故其纵向线应变为（a）可见，纵向纤维的线应变与纤维的坐标y成正比。2、物理关系因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都处于单向受力状态，当应力小于比例极限时，由胡克定律知将(a)式代入上式，得(b)这就是横截面上正应力变化规律的表达式。由此可知，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比，而在距中性轴为y的同一横线上各点处的正应力均相等，这一变化规律可由图8.4来表示。3、静力学关系以上已得到正应力的分布规律，但由于中性轴的位置与中性层曲率半径的大小均尚未确定，所以仍不能确定正应力的大小。这些问题需再从静力学关系来解决。如图8.5所

6、示，横截面上各点处的法向微内力σ-31--31-dA组成一空间平行力系，而且由于横截面上没有轴力，仅存在位于x-y平面的弯矩M，因此，(c)(d)(e)以式(b)代入式(c)，得(f)上式中的积分代表截面对z轴的静矩Sz。静距等于零意味着z轴必须通过截面的形心。以式(b)代入式(d)，得(g)式中，积分是横截面对y和z轴的惯性积。由于y轴是截面的对称轴，必然有Iyz=0,所示上式是自然满足的。以式(b)代入式(e)，得（h）式中积分（i）是横截面对z轴（中性轴）的惯性矩。于是，(h)式可以写成（8.1）此式表明，在指定的横截面处，中性层的曲率

7、与该截面上的弯矩M成正比，与EIz成反比。在同样的弯矩作用下，EIZ愈大，则曲率愈小，即梁愈不易变形，故EIz称为梁的抗弯刚度。再将式(8.1)代入式(b),于是得横截面上y处的正应力为（8.2）此式即为纯弯曲正应力的计算公式。式中M为横截面上的弯矩；Iz为截面对中性轴的惯性矩；y为所求应力点至中性轴的距离。当弯矩为正时，梁下部纤维伸长，故产生拉应力，上部纤维缩短而产生压应力；弯矩为负时，则与上相反。在利用（8.2）式计算正应力时，可以不考虑式中弯矩M和y的正负号，均以绝对值代入，正应力是拉应力还是压应力可以由梁的变形来判断。-31--31

8、-应该指出，以上公式虽然是纯弯曲的情况下，以矩形梁为例建立的，但对于具有纵向对称面的其他截面形式的梁，如工字形、T字形和圆形截面梁等仍然可以使用。同时，在实际工程中