处理角问题的几种数学思想方法

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1、·30·中学数学月刊2000年第12期由于g(x)在[1,+∞)内递增,所以为便于大家掌握此方法,我们列出下列g(x)min=g(1)=1,各题,以便练习.xx+2所以k<1.1.已知方程4-2+4m=0有唯一例8(1990年高考压轴题)已知函数解,求m的取值范围.xxxx2.已知方程9-�x-2�-4·3-�x-2�-1+2+⋯+(n-1)+ana=0y=lgn有实数根,求实数a的取值范围.在(-∞,1]内恒有意义,求实数a的取值范223.已知方程�x-2x+1+a�=a-6恰围.有两相异实数根,求实数a的取值范围.分析由对数的定义

2、知4.求a的值,使方程log(x+a)2x=2有唯xxxx1+2+⋯+(n-1)+an>0一解;有两解;无解.n5.(上海1992年考题)已知函数在(-∞,1]内恒成立.2f(x)=xloga+2x+4lga分离参数,得的最大值是3,求实数a.1x2xn-1xa>-[()+()+⋯+()].nnn6.(俄罗斯考题)若关于x的方程1x2xlog2x+1=2log2(x-a)令g(x)=-[()+()+⋯+nn恒有一个实数解,求实数a的取值范围.n-1x(n)].7.(广东考题)已知函数2由于g(x)在(-∞,1]内单调递增,所以f(x)

3、=x-2mx+m+6n-1对x∈R,f(x)>0恒成立,求m的取值范g(x)min=g(1)=-,从而2围.1-na>.8.(1989年高考题)已知关于x的方程222),综上所述,参数分离法确实是一种难得loga(x-ak)=loga(x-a的好方法,它不仅运算简洁,思路清晰,而且问k为何值时,方程有解.对所论问题的内在结构弄得明明白白,一切说明一点:本方法只适用于所论参数与跃于纸面,让人赏心悦目,回味无穷.自变量能分离的情形.处理角问题的几种数学思想方法戴亚宁(宁夏中宁县中宁中学751200)有关角的概念及相关问题几乎分布在高1利用

4、函数思想中数学的各个单元,是代数、三角、几何知识我们知道,三角函数是角作为自变量的的聚汇点和发散点.由于以角为材料和背景超越函数,因此,利用函数思想将有关角的问设计的题目,思考的途径广,创造性要求高,题转化为三角函数问题是解决问题的重要途展示能力的区域比较宽,解决问题的思路和径.手段体现了很丰富的数学思想及方法,从而例1设复数z=3cosΗ+i2sinΗ,求函深为各种类型的考试命题者所厚爱.以下将Π数y=Η-argz(0<Η<)的最大值以及对笔者在教学实践中解决此类问题的一些体会2应的Η值.(1999年全国高考题)和心得作一总结,供参

5、考.分析欲求y=Η-argz的最值,可转化©2000年第12期中学数学月刊·31·为求y的某一三角函数的最值,考虑到argz1986年高考题:如图1,在平面直角坐标的特征,可考虑选择y的正切值.系中,在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给Π定两点A,B,试在x轴的正半轴(坐标原点解由0<Η<得tanΗ=0,2除外)上求点C,使∠ACB取得最大值.Π由z=3cosΗ+i2sinΗ,得0

6、面Α中的经过A点的直线中,故tany=tan(Η-argz)以垂直于平面Α和Β的交线的直线同平面Β2tanΗ-tanΗ的夹角为最大.31==.分析依据函数思想,设法将“夹角为最2231+tanΗ+2tanΗ3tanΗ大”转换为夹角的某一三角函数最大(小)来∵3+2tanΗ≥26,讨论,再由此确定各个几何元素的位置形态.tanΗ证明在位于平面Α内过点A的直线l′6∴tany≤,上取点B,使BA=1,作BC⊥平面Β,C∈平123Π面Β,连AC,则∠CAB为直线l′与平面Β所当且仅当=2tanΗ(0<Η<)时,tanΗ2成角.6设Α∩Β=l

7、,Α与Β所成的两组对顶二面即tanΗ=时,上式取等号.2角中较小的一个为Η,作CD⊥l,D∈l,连6所以当Η=arctan时,函数tany取BD,则BD⊥l,故∠BDC为平面Α与Β所成2的角,即∠BDC=Η.设l′与l的夹角为Δ,则6最大值12.BD=sinΔ.ΠΠ在Rt△BDC中,BC=BD·sinΗ=sinΔ由y=Η-argz得y∈(-,),由于22BCΠΠ·sinΗ,在Rt△BAC中,sin∠CAB==在(-,)内正切函数是递增函数,函数yBA22sinΔ·sinΗ.6Π也取得最大值arctan12.因sinx在(0,)上是增函

8、数,故当且2评注这是一道融代数、三角为一体且仅当sin∠CAB值最大时∠CAB最大.所有深刻几何背景的好题.据不少考生反映,由以,当sinΔ=1时,∠CAB最大.这时l′⊥l.于对Η-argz的表示形式很陌生,从而影响评