哲学视角下的数学思想方法

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1、万方数据lO数学教学研究第33卷第5期2014年5月哲学视角下的数学思想方法樊彦琴(兰州职业技术学院基础教学部，甘肃730070)数学是用抽象的量化方法研究物质世界空间形式和数量关系及其结构模式的科学．哲学是理论化、系统化、辩证化的世界观和方法论，是研究这个世界的本质及其规律的科学．数学与哲学的关系源远流长．恩格斯曾说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成立了．”数学家B．Demollins说：“没有数学，我们无法看穿哲学的深度；而没有哲学，人们也无法看穿数学的深度；而若没有两者，人们就什么也看不透．”纵

2、观整个数学发展史我们可以看到，推动数学发展的巨匠往往就是哲学家，如柏拉图、笛卡尔、莱布尼兹、希尔伯特等；而杰出的哲学家又精通数学，如黑格尔、马克思和恩格斯；有的既是数学家又是哲学家如罗素、牛顿等．数学家哥特罗布·佛雷格曾说：“一个好的数学家，至少是半个哲学家；一个好的哲学家，至少是半个数学家．”这就生动地描述了数学与哲学有着难以割舍的关系，精辟地道出了数学中蕴含着丰富的辩证思维方法，而哲学为数学的发展提供了坚实的理论基础．因此，笔者认为有必要从哲学视角对数学有关思想方法作进一步的深入探讨．1鲜活多样的世界和抽象统一的数学1．1抽象与具体的关系抽象与具体是对立

3、统一的辩证关系，是辩证思维的方法，抽象是具体的意识形态，具体是抽象的思维方式和行为方式．正如列宁所说：“物质的抽象，自然规律的抽象，价值的抽象等等，一句话，一切科学的(正确的、郑重的、不是荒唐的)抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然．”抽象来自具体，具体反映抽象．抽象是具体的概括，具体是抽象的物化．如果只谈抽象，不谈具体例子，抽象就会变成无源之水，无本之木，抽象就难于理勰，难于接受．概括地讲，数学具体与抽象的路线图l如示．阿丽面L垫虬阪涸图11．2数学抽象的特征由于任何客观事物都是质与量的统一，而数学正是研究客观事物量的问题的一门科学．“数”与“形”曾

4、是数学“量”这一概念的核心内容．恩格斯说：“数学是研究数量关系和空间形式的一门科学．”这便清楚地表明了数学抽象的特殊内容：数学的抽象完全舍弃了事物质的内容，而仅仅保留了它们的量的属性，即数学抽象的目的只是数量关系和空间形式．从而也决定了数学抽象的特殊性：量化特征和形式化特征．例如，从著名的“七桥问题”的解决可以看出，欧拉解决问题的关键是两步抽象，首先从实际问题抽象出形式结构，其次再对形式结构进一步分析，最后抽象出其本质数量特征，由此得出判别准则，从而使问题得到解决．这充分体现了数学抽象的形式化和量化的特点．也正因如此，数学概念或规律，大多数是经过多次的抽象才

5、得到的．并且，人们也一再谋求着抽象基础上的再抽象，万方数据第33卷第5期2014年5月数学教学研究1l把抽象的进度作为数学进步的标志之一．例如函数是数集之间的一种映射，如果把它的定义域由数集改为函数集、命题集等一般集合，就把这种映射称为泛函、命题函数等．由此可见，数学高度的抽象性和统一性与数学应用广泛性的相融性和一致性．2运动与静止2．1动与静的关系运动是物质的存在形式和固有属性，包括宇宙间的一切变化和过程．静止是运动的一种特殊形式．运动是绝对的、永恒的、无条件的；静止是相对的，暂时的、有条件的．运动和静止是对立的统一．即没有绝对的运动就没有相对的静止，没有

6、相对的静止也显示不出绝对的运动．函数是最能体现动与静的关系的一个概念，因为函数概念中蕴含着动与静相互依赖关系．比如，函数的变量说：z—y和对应说：A—B都是动与静的结合．只不过前者突出了变量(动)的一面，后者突出了集合(静)的一面而已．由此可见函数概念充分体现了客观事物之间量与量的关系，动与静的对立统一思想．也正如此，函数是描写运动，解决实际问题和有关理论问题的有力工具．又因函数从关系视角看：由变量说一对应说一关系说，还在不断的发展．从其研究的对象元素而言，也在不断的扩大，即由数一函数—命题等．正因如此，函数的概念被称为数学中永恒的概念．2．2利用动与静的辩

7、证关系解题一2．．2例1已知A为椭圆舞+署一1上任一厶U了点，B为C：(z一1)2+y2一l上任一点，求IABl的最大值和最小值．分析常规思路，设出C，B的坐标代入距离公式，复杂冗长，难以求出最值．因此改变思维方向，另辟蹊径，利用“以静制动”的思想．不妨先固定A点，则问题转化为：在已知圆上找一点B，使IABI最大或最小．由平面几何知识，得线段AB必过圆心C．故要求lABI的最大或最小，只需求IACl的最值．解圆C：(z一1)2+y2一l的圆心为C(1，o)，半径为1．设点A(z，y)为椭圆螽+等一1上一点，则IAC

8、2一(z一1)2+了2一(z一1)2+9一

9、甍≯16厂25、2135一磊Iz一而J十面’因为点A