立体几何线面位置关系的判定与证明.doc

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1、第10讲　立体几何线面位置关系的判定与证明一、考点要点线面的平行与垂直的判定和性质：平行垂直直线a与直线b（1）同平行于直线c的两直线平行（2）a∩b=b，a∥a，aÌbÞa∥b（3）a∩b=b，a∥a，a∥bÞa∥b（4）a⊥a，b⊥aÞa∥b（5）两平行平面都和第三个平面相交，则交线平行（1）a⊥b，b∥cÞa⊥c（2）a⊥a，bÌaÞa⊥b（3）三垂线定理、逆定理（4）a∥a，b⊥aÞa⊥b直线a（b）与平面a（b、γ）（1）aËa，bÌa，a∥bÞa∥a（2）a∥b，aÌbÞa∥a（3）aËa，a⊥b，a⊥bÞa∥a（1）m、nÌa，m∩n=B，a⊥m，a⊥n

2、Þa⊥a（2）a∥b，b⊥aÞa⊥a（3）a∥b，a⊥bÞa⊥a（4）a⊥b，a∩b=b，ab，a⊥bÞa⊥a（5）a⊥b，b⊥γ，b∩g=aÞa⊥a平面a与平面b（1）若a内的两条相交直线a、b都平行于b，则a∥b（2）a⊥a，b⊥aÞa∥b（3）平行于同一平面的两平面平行（1）l⊥b，lÌaÞa⊥b（2）a∥b，a⊥gÞb⊥g根据上述线面的平行与垂直的判定和性质，可知：“线线平行线面平行面面平行”，“线线垂直线面垂直面面垂直”是立几中所表现出的线面的平行与垂直关系互相转化的基本思路，掌握了这种转化思路，也就掌握了用传统方法解答立体几何问题的钥匙．若是单纯的判断题，

3、通常是结合图形（或另作，或想象）将三种语言（文字、符号、图形）互译互助，利用判定定理或性质定理解决；若是线面平行、垂直关系的证明问题，基本思路是：由“已知”用性质推“可知”，看“欲证”想“要证”用判断，并借助图形直观，添加必要的辅助线（面）；若是角、距离的计算问题，首先是在原有图形上千方百计地找到（或作出）符合相关定义的角、距离，然后加以论证，最后是计算角或距离的大小．二、典型例题例1（1）（2013·广东）设m，n是两条不同的直线，a，b是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）．D（用长方体模型思考判断）A．若a⊥b，mÌa，nÌb，则m⊥nB．若a∥b，mÌa

4、，nÌb，则m∥nC．若m⊥n，mÌa，nÌb，则a⊥bD．若m⊥a，m∥n，n∥b，则a⊥b（2）（2013·新课标）已知m，n为异面直线，m⊥平面a，n⊥平面b．直线l满足l⊥m，l⊥n，lËa，lËb，则（　　）．DA．a∥b，且l∥aB．a⊥b，且l⊥bC．a与b相交，且交线垂直于lD．a与b相交，且交线平行于l5EBADCECDBA例2（2008·重庆）如图，在△ABC中，B=90°，AC=7.5，D、E两点分别在AB、AC上，使AD:DB=AE:EC=2，DE=3．现将△ABC沿DE折成直二角角，求：（1）异面直线AD与BC的距离；（2）二面角A－EC－B

5、的大小（用反三角函数表示）．分析（1）因为与AD、BC既垂直又相交的直线是异面直线AD与BC的公垂线，两交点间的线段长是其距离，所以图文结合，仔细领会题意，不难发现BD就是异面直线AD与BC的距离．（2）在折叠后的图中，由于AD⊥底面DBCE，所以利用三垂线定理或逆定理作出二面角A－EC－B的平面角，然后加以论证和计算．解（1）∵AD:DB=AE:EC，∴BE∥BC．又因B=90°，∴AD⊥DE．BADCEF因A－DE－B是直二面角，AD⊥DE，故AD⊥底面DBCE，从而AD⊥DB．注意到DB⊥BC，所以DB为异面直线AD与BC的公垂线．如图，由AD:DB=AE:EC

6、=2，得DE:BC=AD:AB=2:3．又DE=3，∴BC=4.5，AB2=AC2－BC2=36．进而BD=2，即异面直线AD与BC的距离为2．（2）如图，过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，连结AF．由（1）知，AD⊥底面DBCE，由三垂线定理知AF⊥FC，故∠AFD为二面角A－EC－B的平面角．在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE，BD=2，CE=2.5，得，从而在Rt△DFE中，DE=3，DF=DE·sin∠DEF=DE·sin∠BCE=2.4．在Rt△AFD中，AD=4，，因此所求二面角A－EC－B的大小为．说明：1．现行教材及考纲中对异面直线的距离要求较低

7、，在图中往往有现成的距离（不需要另作），只要根据题意加以说明（证明）它满足异面直线的距离所要求的两个条件：既垂直又相交即可．2．作二面角的平面角时，通常需要确定出（或找到）一个半平面的一条垂线，借助于三垂线定理或逆定理去作角（先作出），后证明．3．要善于熟练应用直角三角形的边角关系．例3（2008·安徽）如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=45°，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（1）证明：直线MN∥平面OCD；（2）求异面直线AB与MD所成角的大小；（3）求点B到平面OCD的距离．分析