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1、立体几何中的向量方法考点一用向量方法求空间角 1.如图所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )(A)(B)(C)(D)2.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )(A)(B)(C)(D)3.已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 . 考点二用向量法证明直线、平面的平行或垂直关系 1.如图,在四棱柱ABCD-A1
2、B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.(1)求证:MN∥平面ABCD.(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值.(3)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长.2.平面图形ABB1A1C1C如图①所示,其中BB1C1C是矩形,BC=2,BB1=4,AB=AC=,A1B1=A1C1=.现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠,使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直,再分别连接A1A,A1B,A1C,得到如图②所示的空间
3、图形,对此空间图形解答下列问题.(1)证明:AA1⊥BC;(2)求AA1的长;(3)求二面角ABCA1的余弦值.考点三用向量法求点到面的距离或两点间的距离 1.如图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=,∠CDA=45°.(1)求证:平面PAB⊥平面PAD.(2)设AB=AP.①若直线PB与平面PCD所成的角为30°,求线段AB的长;②在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?说明理由.2.如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,点N是BC的中点,点M在CC1
4、上.设二面角A1DNM的大小为θ.(1)当θ=90°时,求AM的长;(2)当cosθ=时,求CM的长.3.如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2.(1)求点A到平面MBC的距离;(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.
