矩阵分析期末考试2012.doc

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2012-2013学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业学号姓名题号一二三四五六总分得分一、（共30分，每小题6分）完成下列各题：（1）设空间中的向量，，，，，，分别求和的维数.解：和的维数为3和1（2）设，是酉空间中两向量，求内积及它们的长度（）.（0，2,2）；（3）求矩阵的满秩分解.解：4 （4）设矩阵，求的Smith标准形及其行列式因子.解：（5）设是矩阵范数，给定一个非零向量，定义，验证是向量范数.二、（10分）设中的线性变换在基下的矩阵表示为，（1）（5分）求的值域的维数及一组基；（2）（5分）求的核的维数及一组基.解：（1）由题意知T[ε1,ε2,ε3]=线性变换T的值域为T（V）=所以A（V）的维数为2，基为（2）矩阵A的核为AX=0的解空间。不难求得AX=0的基础解系是[2,-1,1]T,因此的维数为1，基为.4 三、（8分）求矩阵的正交三角分解，其中是酉矩阵，是正线上三角矩阵.解：=四、（8分）设，求矩阵范数，，，.（这里）.解：，（2分），（2分）（2分），（2分）（2分）五、（共24分，每小题8分）证明题：（1）设是正定Hermite矩阵，是反Hermite矩阵，证明是可逆矩阵.（2）设是阶正规矩阵，证明是Hermite矩阵的充要条件是的特征值为实数.（3）若，证明为非奇异矩阵，且，这里4 是诱导范数.六、（共20分，每小题5分）设，（1）求的Smith标准形（写出具体步骤）；（2）求的初等因子、最小多项式及Jordan标准形；（3）求相似变换矩阵及其逆矩阵阵；（4）求.解，初等因子，；最小多项式；Jordan标准，4