数学建模入门.doc

《数学建模入门.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第一章、数学建模入门1、基本实验1.1贷款问题小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是0.6%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。(1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？(2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？(3)如果在第6年初，银行的贷款利率由0.6%/月调到0.8%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那

2、么在第6年后，每月的还款额应是多少？(4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。但条件是:(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2；(ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。解：1、模型建立先考虑一般情况，设Ak为第k个月的欠款额，r为月利率，x为每个月的还款额，第k个月的欠款额＝第k－1个月的欠款额×月利率+第k－1个月的欠款额－每个月的还款额即Ak=Ak－1（1+

3、r）－x，k=1,2,……,N,其中N为贷款总月数，A0为最初的贷款额。1、模型求解由差分方程得到第1个月的欠款额：A1＝A0（1+r）－x，第2个月的欠款额：A2＝A1（1+r）-x＝A0（1+r）2-x[(1+r)+1],第k个月的欠款额：Ak=Ak－1（1+r）－x=A0（1+r）k－x[(1+r)k-1+…+(1+r)+1]=(1.5)贷款总月数为n，也就是说，第n个月的欠款额为0，即An＝0，令n=k，导出(1.6)可见每个月的还款额一定大于贷款额×月利率。，据上式分析：（1）r＝0.006，n＝240，A0＝20000

4、0，带入始终可计算出每月还款额x=1574.70元，共还款1574.70×240＝377928.00元，共计付利息177928.00元。（2在计算出算出每月还款额x后,则可计算出每月的欠款额,因此,如果打算提前还贷,只需用式(1.5)计算出Ak.打算在5年后还清全部贷款，即k＝60，A60＝173034.90元。（3）对于银行调整利率,则相当于在旧利率下该月的欠款总额为A0,余下的还款总月数为n,调整后的利率为r,用式(1.6)计算出调整利率后每月的还款额x从银行调整利率后算起，A0=173034.90，n=15×12=180，r

5、＝0.008，由此可以得到x＝1817.33元，即每月的还款额应为1817.329元。(4)提前三年即是17年还完贷款额，通过对比我们判断是否考虑借贷公司。若不考虑借贷公司，每月的还款额x=1574.7元，按每年12个月计，总共的还款额为1574.7×12×20＝377928元。若考虑借贷公司，每半个月的付款额是原来的一半,即1574.699×0.5，总的还款次数是17×12×2＝408，加上付给借贷公司的佣金总的还款额是1574.699×0.5×408+200000×10%＝341238.596元。通过对比可知，可以考虑借贷公司

6、。1.2冷却定律与破案按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为To(To

7、疑人之外？1模型建立T（t）为t时刻物体的温度，k为散热系数，T0为环境温度，可得微分方程：；则可得t时刻物体的温度（1）2模型求解记晚上8时20分为t=0时刻，T（0）=32.6℃，T（1）=31.4℃，T0=21.1℃带入（1）式，可解得，C=11.5，k=ln10.3-ln11.5≈﹣0.11，则，3结论设该女子遇害时间为t，T（t）=37℃，代入上式可得t=-2.95，t=0时刻为晚上8时20分，则遇害时间为8.33-2.95=5.38≈5时23分而张某5时离开办公室，从办公室到案发现场步行需要5分钟，可见张某不能被排除在

8、犯罪嫌疑人之外。1.3锻炼想象力、洞察力和判断力的问题(1)某人早8时从山下旅店出发沿一条山路上山，下午5时到达山顶并留宿，次日8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。该人必在两天中的同一时刻经过路释中的同一地点，为什么？1模型建立设F(t)为此人第