1数学建模入门

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1、工程数学1.数学建模基础Gxxxxxxxxxxxxxxx工程数学GxxxxxxxxxxxxxxE-mail:xxxxxxxxxxxTel:xxxxxxxxx1数学建模基础：1.1.实验目的与要求l数学建模入门，体会数学建模的意义，学会换角度思考问题1.2.基本实验1.2.1.贷款问题小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是0.6%/月。他们采用等额还款的方式（即每月的还款额相同）偿还贷款。1)在上述条件下小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完

2、余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？3)如果在第6年初，银行的贷款利率有0.6%/月调整到0.8/月，他们仍然采用等额还款方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款，但条件是：a)每半个月付一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2；b)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款？解：

3、1.建立模型：工程数学1.数学建模基础Gxxxxxxxxxxxxxxx先考虑一般情况：设Ak为第k个月的欠款额，r为月利率，x为每月的还款额，y为借贷公司的佣金，M为贷款的总还款次数。注意到：第k个月的欠款额=第k-1个月的欠款额x月利率+第k-1个月的欠款额–每月的还款额，即：Ak=Ak-1(1+r)-x,k=1,2,…,N,(1.4)其中N为贷款总月数，A0为最初的贷款额。2.模型求解：由差分方程（1.4）得到第1个月的欠款额是：A1=A0(1+r)-x,第2个月的欠款额为：A2=A1(1+r)-x=A0(1+r)2-x[(1+r)+1]

4、,第k个月的欠款额为：Ak=Ak-1(1+r)-x=A0(1+r)k-x[(1+r)k-1+…+(1+r)+1]=A0(1+r)k-x(1.5)贷款总月数为N，也就是说，第N个月的欠款总额为0，即AN=0，在式（1.5）中令k=N，导出：x=>A0r(1.6)对于问题（1），r=0.006，N=240，A0=200000，由式（1.6）计算得到x=1574.699，即每月还款1574.70元，共还款1574.70x240=377928.00元，共付利息177928.00元。在计算出每月还款额x后，则可计算出每月的欠款额Ak，因此，如果打算提前

5、还贷，只需用公式（1.5）计算出相应的Ak即可。对于问题（2），打算在5年后还清全部贷款，即k=60，则A60=173034.90元。对于银行调整利率，则相当于在旧利率下该月的欠款总额为A0工程数学1.数学建模基础Gxxxxxxxxxxxxxxx，余下的还款总月数为N，调整后的利率为r，用公式（1.6）计算出调整利率后每月的还款额x。对于问题（3），A0=173034.90元（贷款5年后的还款额），N=180（还有150年的还款期），r=0.008（调整后的利率），由式（1.6）得到x=1817.329元。·对于问题（4），通常提前3年还款，

6、假设银行贷款利率不变，则第17年后还清全部贷款，即k=204，则A204=50848.037元，总共需要支付给银行：1574.699x204+50848.037=372086.633若采用借贷公司的还款方式计算：M=17x2x12=408则总共需要支付：1574.70/2xM+y=1574.70/2x408+200000x10%=341238.8<372086.633结论：小王夫妇可以请这家借贷公司帮助还款1.1.1.冷却定律与破案按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为T0（T0

7、定律确定张某是否是下面案件中的犯罪嫌疑人。某公安局于7时30分发现一具女尸，当晚8时20分法医测得尸体温度为32.60C。,一小时后，尸体被抬走时又测得尸体温度为31.4℃,，已知室温在几个小时内均为21.1℃，由案情分分析得知张某是此案的主要犯罪嫌疑人，但张某矢口否认，并有证人说：“下午张某一直在办公室，下午5时打一个电话后才离开办公室”。从办公室到案发现场步行需要5分钟，问张某是否能被排除在犯罪嫌疑人之外？解：根据题意所示，T（t）为t时刻物体的温度，k为散热系数，T0为环境温度，可得微分方程：=k(T-T0);工程数学1.数学建模基础G

8、xxxxxxxxxxxxxxx则可得t时刻物体的温度T(t)=T0+Cekt（1）记晚上8时20分为t=0时刻，T(0)=32.6℃，T(1)=31.4℃，T0=2