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1、数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)数学模型对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学建立数学模型的全过程建模（包括表述、求解、解释、检验等）1.21.2数学建模的重要意义•电子计算机的出现及飞速发展；•数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。•在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；•在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；数学建模示例例1椅子能
2、在不平的地面上放稳吗问题分析通常~三只脚着地放稳~四只脚着地•四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚模连线呈正方形;型•地面高度连续变化，可视为数学上的连续假曲面;设•地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来•椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性BB´用θ(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置A´•四只脚着地椅脚与地面距离为零CθA距离是θ的函数Ox四个距离两个距离(四只脚)正方形C´D´D对称性A,C两脚与地面距离之和~f(θ)正方形ABCD绕O点旋转B,D两脚与地面距离之和~g(θ)模型构成
3、用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来地面为连续曲面f(θ),g(θ)是连续函数椅子在任意位置对任意θ,f(θ),g(θ)至少三只脚着地至少一个为0数学已知：f(θ),g(θ)是连续函数;问题对任意θ，f(θ)•g(θ)=0;且g(0)=0，f(0)>0.证明：存在θ0，使f(θ0)=g(θ0)=0.模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(π/2)=0,g(π/2)>0.令h(θ)=f(θ)–g(θ),则h(0)>0和h(π/2)<0.由f,g的连续性知h为连续函数,据连续函
4、数的基本性质,必存在θ0,使h(θ0)=0,即f(θ0)=g(θ0).因为f(θ)•g(θ)=0,所以f(θ0)=g(θ0)=0.评注和思考建模的关键~θ和f(θ),g(θ)的确定例2商人们怎样安全过河问题(智力游戏)随从们密约,在河的任一河小船(至多2人)岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.∆∆∆3名商人商人们怎样才能安全过河?×××3名随从问题分析多步决策过程决策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.模型构成xk~第k次渡河前此岸的商人数x
5、k,yk=0,1,2,3;yk~第k次渡河前此岸的随从数k=1,2,……sk=(xk,yk)~过程的状态S~允许状态集合S={(x,y)
6、x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}uk~第k次渡船上的商人数uk,vk=0,1,2;vk~第k次渡船上的随从数k=1,2,……dk=(uk,vk)~决策D={(u,v)
7、u+v=1,2}~允许决策集合sk+1=sk+(-1)kdk~状态转移律多步决策求dk∈D(k=1,2,…n),使sk∈S,并按问题转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).模型求解S={(x,y)
8、x=0
9、,y=0,1,2,3;•穷举法~编程上机x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}•图解法y状态s=(x,y)~16个格点s13允许状态~10个点d1允许决策~移动1或2格;2k奇,左下移;k偶,右上移.1d1,…，d11给出安全渡河方案d11评注和思考0sn+1123x规格化方法,易于推广考虑4名商人各带一随从的情况1.41.4数学建模的方法和步骤数学建模的基本方法•机理分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律•测试分析将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型•二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确
10、定模型参数机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习。以下建模主要指机理分析。数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型检验模型分析模型求解模型应用模了解实际背景明确建模目的形成一个型比较清晰准备搜集有关信息掌握对象特征的‘问题’数学建模的一般步骤模针对问题特点和建模目的型假作出合理的、简化的假设设在合理与简化之间作出折中用数学的语言、符号描述问题模型发挥想像力使用类比法构成尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤模型各种数学方法、软件和计算机技术求解模型如结果的误差分析、统计分析、分析模型对数据的稳定性分析模型与实际现
11、象、数据比较，检验检验模型的合理性、适用性模型应用数学建模的全过程表述现现实对象
