转化，解决问题的关键

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1、。一w、、jzhl1gshucai1_c9l11～⋯一一～～一2010年第9期(中旬)}≤。0电嗨投鸯帮L嚏豢。又‘．。4一cAD．3一4，瓣稿渤囱磬锺．．△APCco△BCD．·AC一一．．。BCBD，即nAP·BD=AC·BC．①1张东海(河北省晋州市人民政协)而s—BC·hn一·BC．例1如图1，已知：AB—AC—AD，且DAC是CAB的k将①代人②，则有s一AP·‘士倍，则DBC是BDC的例4如图4，正方形ABCD倍．＼中，F是AB上一点，ACF解：由AB—AC—AD知，点B一3O‘，G是AF，GH／AD，B、C、D必在以A为圆心，AB为C交BD于H，

2、求证：△HAF为等半径的圆上，作辅助圆，记作oA．边三角形．由张角性质，有DAC一2DBC；CAB证明：连结HC，~J7[qADAH图4=2ZBDC．又依题设条件，有一△CDH，。~DBC．．AH—CH。_一一丽．于是DBc是BDc的最倍．又GH／AD，：．GHAF．例2已知：0为锐角AABC的外心，则0到而点G是AF的中点，‘BC、CA、AB三边距离之比为()．．．GH是AF的中垂线，故AH===HF，A．1：1：1B．sinA：sinB：sinC’．．HA—HF—HC．C．COSACOSB。COSC以H为圆心，HA为半径作圆，记作oH，D．tanA：tan

3、B：tanC8则A、F、C在oH上，．。．AHF一2ACFC解：如图2，作△ABC的外一6O。，．‘．△HAF为等边三角形．接圆，记作o0，令其半径为r．作圆是传递角的关系的重要图形．当题设(或隐含)A0DJ-BC，则有BOD=A．C中，含有三点距某一点等远的条件时，往往可考虑构于是有oD一0B·COSB()[)ll造辅助圆，完善图形．可以根据题目条件，构造整个一rCOSA：圆、部分圆或无形圆，灵活运用等腰三角形的某些性同理，0到AC、AB距离分②质，搭桥铺路，使结论获证．图2别为rcosB、t'COSC．于是，答案选C．#／，～～、例3已知：AB—BC—CA

4、、黧位酒解决问题韵关键j》—AD，AH上CD，垂足为H，PCA上BC交AH于P，求证：△ABC李靖(浙江省德清县新市镇初级中学)的面积S一AP·BD．‘士D证明：‘．‘AB—AC—AD，问题：(2006湖北)如图1，已知一图3。平面直角坐标系中，A(2，一3)，．．B、C、D三点在以A为圆心，B(4，一1)．AB为半径的圆上．(1)若P(，0)是轴上的一0一j则2===丢BAc一332．．~1=90。一60。一3个动点，则当一时，-一／B‘△PAB的周长最短；A．．1一2．’图1．’△ACD是等腰三角形，AH上CD，(2)若C(a，0)，D(a4-3，0)是,

5、72轴上的两个动点，则当a一时，四边形ABDC·．．3一专CAD．的周长最短；20中10~一～一一一一⋯一一一～⋯一～⋯z⋯h⋯o⋯n～g(3)设M、N分别为z轴和Y轴上的动点，请问：是+IBDI一『AC1l+IBCI—IAC1l+lB。C1l≥IABI否存在这样的点M(m，0)、N(O，)，使四边形ABMN—ICAI+lCB2I—IACl+ICBI—ICAI+IBDI．即C、D的周长最短?若存在，请求出一，，z一点是使四边形ABDC的周长最短的点．(不必写解答过程)；若不存在，请说明理由．笔者参加了当年中考的监考和阅卷工作，从监考．Z，；’．．C．．i～和阅

6、卷的情况来看，此题的得分率极低，尤其是第(2)．．．D。一010问，几乎没有学生做出来．对于第(2)问，《中小学数学》(初中版)2007年第：4期刊登的陈宏圣老师的《一道课本习题在中考中的图3图4应用》一文给出了一种解法，《中学数学教学参考》分析：解法1是将BD向左平移了三个单位后与2010年第5期(中旬刊)刊登了郭海勇老师的《想得AC凑在一起转化成了第(1)问，事实上还可将AC向右越多解得越妙》一文，它将陈宏圣老师的解法进行平移3个单位，与BD凑在一起转化成第(1)问(如图4)．了提炼．笔者在两位老师探讨的基础上，提出自己对为了将AC与BD凑在一起也可先作B

7、D关于X该题本质的解法．轴的对称线段B。D，然后将B。D向左平移3个单位从两文可看出两位老师的解法最后都归结到“求四得到线段BC，若B。C与CA共线，则『B。CI+ICAI边形ABCD的周长最短，即求lACJ+JBDl—lB。DI+lCAl—IBDI+ICAl最短．于是有一~／3。+(2一口)+~／1+(＆一1)的最小值”，而郭老师解法2：如图5，作点B(4，一1)关于z轴的对称点对求1ACI+lBDl，提出的方法是“将求IACI+lBDlB。(4，1)，将B3(4，1)向左平移3个单位得到B2(1，1)，连一~／3+(2一n)+~／1。+(a一1)的最小值可

8、转化为求结B2A，与轴的交点即为点C，