一道练习题的教学与反思.doc

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1、一道练习题的教学与反思一一金山中学张海兵一、练习题的教学这是2006年重庆高考数学(理科)试题的第21题，也是我们高三复习时周一练”中的一道题目:已矢口定义域为R的函数/(兀)满足/(/(x)-x2+x)=+x.(I)若/(2)=3,求/⑴；又若/(O)=tz,求/⑺)；(II)设有且仅有一个实数忑，使得/(x0)=a0,求函数/⑴的解析表达式.本题是一道函数综合题，主要考察学生的函数与方程思想，可就是这样的一道练习，让很多学生摸不着头脑。以下是部分学生的解答：学生解答一：(I)J函数/(兀)满足/(/(x)-x2+x)=/(x)-x2+x・•・/(x)=X・・・/(1

2、)=1,f(a)=a(II)由(I),f(x)=x这个解答在学生中很盛行，血且他们对自己的解答也充满自信，因为至少第一问的值他们跟答案是一样。当事后我询问他们的时候，他们告诉我，他们一下手就是这样做的。学生的解答让我感觉似乎缺少对题H应有的理解，于是我顺着这个思路提了这样的一个问题：既然你们在第一问小已经得到了/(兀)=兀，但第一问屮有一个题设条件，/⑵=3,这不是矛盾的吗？难道是题H错了吗？有一位同学关注到了这个问题，于是细心的他给出了一个“修正性”的解答：学生解答二：(I)函数/(对满足/(/(x)-x2+x)=f(x)-x2+x这相当于当兀=/(X)-A-2+X时

3、，/(X)=X由于x=f(x)-x24-X,所以/(X)=X27V-+V*-①+②得：2/(x)=x+x2,即/(x)=——一2+22$检验：/(2)=三—=3,符合・・・/(I)=1而/(0)=—^-=0=67/(^)=/(0)=0=6Zr+丫~(II)由(I),/(x)=当这位同学在黑板上写下解答吋，我依旧不慌不忙的用红粉笔给了一个叉，嘴角露岀了丝丝的笑意，学生们一个个都愣愣的看着我。“有没有同学能指出他的错误啊？”我说。不一会，一位同学举手了，“他的函数有三个解析式，我们没见过-•个函数有三个解析式的。”我稍稍的点了点头，其实他的说法不准确，应该是：“一个函数对定

4、义域上的数，不可能有三个不同的数与之对应。”我更正他的说法。并在黑板上写下这样的两个判断题：(1)如果/(X+1)=x+l(XG/?),则/(X)=X(XG/?)；(2)如果/(2)=2,则f(x)=x(XG/?).学生很快发现第二个问题是错误，甚至觉得它错得太离谱了。于是我很快就说：“你们犯的就是这种错误。”于是，我还是从第二问说起，题设条件屮指出方程有一个根X。，而/(/(兀)-F+X)=/(x)-x2+x,当我们把f(x)-x2+x看成1个整体后，设心/⑴-川+兀，贝ijf(t)=to由题设条件，显然r=x0,即f(x)-x2+x=x0o也就是说f(x)-x2+x

5、是一个实实在在的常数，像2-・般，一个具体的实数，而不像X+1-样，是一个变量。因而，/(尔们由f[f(x)-x2+A-)=/(x)-x2+x,得到f(x)=x,是一个严重的错误！二、我的反思课后，学生的错误引发了我的思考，学生为什么会有这样的错误呢，他们把fM-x2+x当成了变量，而不把它当一个实数来看，究其原因，我想到了初高屮数学课本屮关于函数的概念。高屮数学课本屮函数的定义⑴：设A,3是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系/,使对于集合A屮的任意一个元索八在集合B屮都有唯一确定的的数.fd)和它对应，那么就称「・A—B为从集合A到集合B的一个函数，记作：U，xe

6、A其屮，x叫做自变量，x的取值范围4叫做函数的定义域，与兀的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛fMxeA｝叫做函数的值域。而初屮数学课本屮，函数的定义是这样：设在一个变化过程屮有两个变量x和y,如果对于的每一个兀值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是尢的函数，兀叫做自变量.1、“对应论”与“变化论”高屮数学课本屮，函数指的是一堆数屮任何一个树在另一堆数屮能找到唯一的一个数与之对应，首先强调是数与数的对应，不是集合与集合的对应。我们姑且把它称为“对应论”。初屮数学屮，函数表示一个量随另一•个量的变化而变化的运动过程，每一个口变量都有与之相对应的唯一函数值。它虽提到

7、了“对应”，且更多的是强调前半句,函数是变化过程，是一个量随另一个量的变化而变化的运动过程。我们姑且把它称为“变化论”。这两者是没有矛盾，因为当原来的数发生连续变化吋，所对应的数往往也会发生连续变化⑵，这就产生了连续“变化论”。2、“对应论”体现的是“个体的相对静止性”，“对应论”与“变化论”这两者虽没有矛盾，可侧重点却不同。在-•个数对应到另一个数的时候，这个数是没有发生变化的，所对应的数也一样，“对应论”体现的是“个体的相对静止性”。“变化论”却强调了变化，强调了“运动性”。而在我们的很多练习屮，我们往往总是在体现和强调函数“运动性”