保序部分单变换半群到保序部分变换半群的同态.pdf

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1、第13卷第1期杭州师范大学学报(自然科学版)Vol

2、13No．12O14年1月JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Jan．2014保序部分单变换半群到保序部分变换半群的同态高京南，杨秀良(杭州师范大学理学院，浙江杭州310036)摘要：设IO和PO分别是集合X一{1，2，⋯，}上的保序部分单变换半群和保序部分变换半群．文章刻画了IO~到Po的所有同态．关键词：同态；同态核；同余中图分类号：O152．7MSC2010：43A22文献标

3、志码：A文章编号：1674—232X(2014)01—0075—041引言和预备知识令X一{1，2，⋯，}．集合X上的所有保序部分单变换在复合运算下构成的半群称为X上的保序部分单变换半群，记作IOn；x上的所有保序部分变换在复合运算下构成的半群称为x上的保序部分变换半群，记作PO．．它们的许多性质已经被前人研究_1]．特别的，V．H．Fernandes口]研究了10．的同余，杨浩波研究了P的同余．本文将进一步研究IO．到PO的同态．本文的映射是右映射．令s，T为两个半群．：S—T为映射．若对任意的．z，∈S

4、，都有(z)()一(xy)(fl，则称为同态．由文献[2]知，IO．，PO．均为正则半群．首先介绍一些符号．S为半群，S中元素的个数记为lSl，S中的幂等元构成的集合记为E(S)．令a：X一X为映射，记a的定义域为dom(a)，a的像集记为im(a)．im(a)中元素的个数称为a的秩，记为r(a)．L表示定义域为A的幂等元，其中Ax．任取t∈{1，2，⋯，1"1}，设集合c,on一{L：ACX，IAl一￡)．则G是由D'O的所有幂等元构成的集合，故lGl0l—f1．记空变换为o，恒等变换为1，即。一(===

5、)，一(===)．2主要结果在本文中我们得到下面的结果：定理1令：IO．一P为任一映射，是同态当且仅当是下面之一：(1)对任意的a∈IO．，都有(a)声一a；收稿日期：2013-01—21通信作者：杨秀良(1963一)，男，教授，主要从事半群代数研究．E—mail：yxl@hznu．edu．an76杭州师范大学学报(自然科学版)2014正2对任+l—i2⋯+1一ik＼意的n+1一2⋯．J，7／_．_l—J女／i<2<⋯<且J1<2<⋯<；0，(3)存在幂等元e，fEE(PO．)，其中eg=f且ef一一f，有

6、(1)===e，(IO．＼{1})≠一f；(4)选洧取e如EE(PO)，对任意的a∈IO，都有(a)一e．．．一¨，a—l，一．、、●，／几j)，ra一一，dora(a),imc，丌为x上的双射，中苴n“r(a)≤2．．．一3定理1的证明++容易验证定理1给出的映射均是J0到PO的同态，故只需证明J0，到PO的所有同态均可表示成定理1给出的其．Z中．某7一种形式．令为IO．到PQ的同态，则Ker~={(a，6)∈×I：(a)一(6)}．由文献[1]知，Ke为Rees同余，又由文献[3]知，的所有理想均有形式

7、n一{a∈10．：r(a)≤是}，O≤是≤．故存在0≤忌≤，使Ker~=p，I，0一(I×)U{(a，n)：“∈IO＼’)．当k—n时，Ker只有一个同余类，为J0，此时j5满足形式(4)；当k—一1时，Kerg~共有两个同余类，分别为IO，1，此时满足形式(3)．故只需讨论0≤是≤一2时的情况．当k一0时，在10上为单射．≠是同态，故保持幂等元和类．因此对任一∈X，都存在唯一的y∈x，使得(L㈩)一L．定义为x上的置换，其中若(L㈧)j5一L，就有()一．令∈j，则对任意的z，YEX，有(z)d—当且仅当

8、La=L，或(L⋯)j5·(d)=(L)声，即((z))(())一()．若存在<，使得()<()，并且存在是

9、一LA．，e一L，其中A≠ACX，且IAl===lA。{一t．令A===AnA，则IAl<￡，于是P1e2一LALA一LAn^一LA∈．．同理可得e2el—LA．从而Ple2一e2e1∈．引理2设是0到P0的同态，Kerq~=pIf)，1≤是≤一2，令()一叩，其中∈P0为幂等元．则(G0)是由()中(志1)个幂等元构成的集合，且对任意的a≠∈(G)，都有卢一一'7．证明由于每个类至多含有一个幂等元，NJigG'