由特殊到一般的探究-论文.pdf

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1、第lO期罗增儒：由特殊到一般的探究·25·由特殊到一般的探究●罗增儒(陕西师范大学数学与信息科学学院陕西西安710062)本文呈现一类三角求值问题的推广探究过程，除体现特殊与一般的数学思想外，逊渗透有数彤结合、分类讨论、函数与方程等多种数学思想，是进行数学思想方法教学的一个良好载体．1特殊问题的解决有一类熟知的三角求值问题：已知三角形中2个内角的函数值，求第3个内角的函数值．如例lAABC中，若sinA=÷，c。s=西12，求c。sc的值分析先弄清题目的条件和结论，然后沟通条件与结论的联系，得出解法．(1)题目有3个条件：条件1~AABC中．由此可知0

2、C<竹，且A+B+C=条件2sinA：4．由此可知c。：÷或c。：一÷，但c。到底是不是取2个值还要由满足三角形的条件“0

3、从而cosA1=c=一．因为0<+0．(2)将式(2)移项，2边平方，整理得关于cosC的二次方程c。sc一鲁c。sc一蔷×善=o，解得cosc=一蔷或cosc：=善，·26·中

4、学教研(数学)均满足式(2)．故c。sc的值为一16甄,,56．说明如图1所示，cosC的2个解分别可在AAB。C，AABC中求得，由余弦定理可验证其正确．'O~l2；~AABC中，si=吉，c。s=3，求c。sc的值·图1解法1co~8=3+Tl">宙，舍去．当0

5、B+C)=sinBcosC+cosBsinC，得：c。sc+sinc，从而丢一c。sc：÷sinc>o．(3)将式(3)移项，2边平方，整理得关于c。sC的二次方程COS2C一c。sc一16×56=0可解得c。sC：一16，，满足式(3)；c。sC=6565，与式(3)矛盾，舍去．故所求c。sC的值为一16·说明如图2所示，例2也可以在AABC中用余弦定理求解，在此不再赘述．C从上述求解过程-~It：．Z看到，由sinA到eosA有2个可能的取值，但这2个值12／／／；o能不能都取到还需要进一步讨论．更一般地，当sinA=m，eosB=时，eosC是不===——

6、——1h是有解?有几个解?具体数值是什么?就更加需要抽象的讨论了，这是一个很有探究价值的问题．22一般情况的探究例3在AABC中，sinA=m，eosB=,40

7、确定eosA．由于A为三角形的内角，对每一个m∈(0，1]，有m=sinA=sin(1T—A)，故内角A最多有2个取值，记为A，(如图3，其中B=B)，满足l0(A1≤}≤A2=1T—A1，sinA：i⋯当且仅当A1=时，A2=}，于是eosA1=,／—1——一——m——，eosA2=一,／—1——一——m———．关键点2保证A，B能在同一个三角形内．第10期罗增儒：由特殊到一般的探究·27·由A+B+C=耵知，A，B在同一个三角形内的充要条件是0

8、<1T(其中=1，2)．