因式分解技巧十法.doc

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1、因式分解技巧这里介绍了10种因式分解的技巧，若将这些技巧全部掌握，在解决因式分解问题上必然有质的提升。首先提取公因式，然后考虑用公式。十字添拆要合适，待定主元要试试。几种方法反复试，最后必是连乘式。一、提取公因式法多项式中所有的项都含有的因式称为它们的公因式。例1：分解因式12a2bc2x2y3-9ab2cx3y2+3abcx2y2解：仔细观察，其中3abcx2y2是它们的公因式所以原式=3abcx2y2(4acy-3bx+1)技巧：先提取每一项的系数的公因数，再逐个将每个字母的最低次提取出来。注意其中符号的变化以及不能遗漏其中的“1”。例2：分解因式3x2y(a+b)(b+

2、c)+3xy2(a+b)(b+c)若在求解过程中将(a+b)(b+c)展开，则在后面的分解过程中会有很大的麻烦，应该观察到每一项都含有(a+b)(b+c)，将其看成一个整体，不做变化。解：含有公因式3xy(a+b)(b+c)所以原式=3xy(a+b)(b+c)(x+y)技巧：在分解过程中，利用好整体思想。二、公式法利用常见的公式进行因式分解。常用公式a2-b2=(a+b)(a-b)a2-2ab+b2=(a-b)2a2+2ab+b2=(a+b)2a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3a3-

3、3a2b+3ab2-b3=(a-b)3a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2补充公式当n为正奇数时有an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-……-abn-2+bn-1)当n为正整数时，有an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+……+abn-2+bn-1)例3：分解因式16(m+x)2-9(n+y)2解：16(m+x)2=(4m+4x)29(n+y)2=(3n+3y)2原式=(4m+4x)2-(3n+3y)2=(4m+3n+4x+3y)(4m-3n+4x-3y)技巧：应该先观察，若先进行展开，将会非常麻烦。例4：分解因

4、式-1-2x-x2+y2解：原式=y2-(x2+2x+1)=y2-(x+1)2=(y+x+1)(y-x-1)例5：分解因式9x2-24xy+16y2解：原式=(3x)2-24xy+(4y)2=(3x-4y)2例6：分解因式a2+b2+c2+2ab-2bc-2ca解：原式=（a2+2ab+b2）-2(a+b)c+c2=(a+b)2-2(a+b)c+c2=(a+b-c)2例7：分解因式x3+1解：原式=x3+13=(x+1)(x2-x+1)注意“1”的妙用。例8：分解因式x6-y6方法一、原式=(x2)3-(y2)3=(x2-y2)(x4+x2y2+y4)=(x-y)(x+y)(

5、x2-xy+y2)(x2+xy+y2)方法二、原式=(x3)2-(y3)2=(x3+y3)(x3-y3)=(x-y)(x+y)(x2-xy+y2)(x2+xy+y2)例9：分解因式x3+3x2+3x+1方法一、利用完全立方公式有原式=(x+1)3方法二、原式=x3+1+3x(x+1)=(x+1)(x2-x+1)+3x(x+1)=(x+1)(x2+2x+1)=(x+1)3例10：在实数范围内分解因式x4+y4解：原式=x4+2x2y2+y4-2x2y2=(x2+y2)2-(2xy)2=(x2+2xy+y2)(x2-2xy+y2)例11：分解因式x5-1方法一、利用公式求解方法二

6、、原式=x5-x4+x4-x3+x3-x2+x2-x+x-1=(x-1)x4+(x-1)x3+(x-1)x2+(x-1)x+x-1=(x-1)(x4+x3+x2+x+1)三、分组分解法对多项式的项进行适当的分组使之能够提取公因式或应用公式。要求做到高瞻远瞩。例12：分解因式ax-by-bx+ay解：原式=ax+ay-bx-by=a(x+y)-b(x+y)=(a-b)(x+y)例13：分解因式x3+x2-y3-y2解：原式=x3-y3+x2-y2=(x-y)(x2+xy+y2)+(x-y)(x+y)=(x-y)(x2+xy+y2+x+y)注：若将x3，x2分成一组，将y3，y2

7、分成一组，则无法进行分解.四、添项与拆项分解法仔细观察多项式的特点，添加适当的项或将其中的项进行适当的拆分，使解题思路变得清晰。注意在添项与拆项过程中进行的是恒等变形。例14：分解因式a3-b3解：原式=a3-ab2+ab2-b3=a(a2-b2)+b2(a-b)=a(a-b)(a+b)+b2(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2)例15:分解因式x3-2x+1解：原式=x3-x-x+1=x3-x2+x2-2x+1=x(x-1)(x+1)-(x-1)=x2(x-1)+(x-1)2=(x-1)(x2+x