弹性力学作业答案-第二章.docx

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1、弹性力学作业第二章平面问题的基本理论2-5在下图的微分体中，若将对形心的力矩平衡条件Mc=0，改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形式的方程？解：将对形心的力矩平衡条件Mc=0，改为对角点的力矩平衡条件MD=0，列出力矩的平衡方程MD=0：σxdy×1×dy2+τyxdx×1×dy+σy+∂σy∂ydydxdx2=τxydydx+σydxdx2+σx+∂σx∂xdxdydy2。σx2dy2+τyxdxdy+σy2dx2+∂σy2∂ydydx2=τxydxdy+σy2dx2+σx2dy2+∂σx2∂xdxdy2。将上式除以dxdy，合

2、并相同的项，得到τyx+∂σy2∂ydx=τxy+∂σx2∂xdy。省略去微小量不记（即∂σy2∂ydx，∂σx2∂xdy为0），得出τyx=τxy可以看出此关系式和对形心的力矩平衡条件Mc=0解出的结果一样。弹性力学作业2-6在下图的微分体中，若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的，试问将导出什么形式的平衡微分方程。解：每个面上的应力分量不是均匀分布的，假设应力分量沿线性分布，如上图所示，为了计算方便，单元体在Z方向的长度取一个单位。各点的正应力为：σxA=σxσxB=σx+∂σx∂ydyσxD=σx+∂σx∂xdxσxC=σx+∂σ

3、x∂xdx+∂σx∂ydyσyA=σyσyB=σy+∂σy∂ydyσyD=σy+∂σy∂xdxσyC=σy+∂σy∂xdx+∂σy∂ydy各点的切应力为：τxyA=τxy，τxyB=τxy+∂τxy∂ydy，τxyD=τxy+∂τxy∂xdx，τxyC=τxy+∂τxy∂xdx+∂τxy∂ydy，τyxA=τyx，弹性力学作业τyxB=τyx+∂τyx∂ydy，τyxD=τyx+∂τyx∂xdx，τyxC=τyx+∂τyx∂xdx+∂τyx∂ydy，由微分单元体的平衡条件Fx=0，Fx=0得-12σxA+σxBdy+12σxD+σxCd

4、y-12τyxA+τyxDdx+12τyxB+τyxcdx+fxdxdy=0，-12σyA+σyDdy+12σyB+σyCdy-12τxyA+τxyBdx+12τxyD+τxycdx+fydxdy=0。将各个点的应力分量带入上式，化简，并约去dxdy，就得到平面问题中的平衡微分方程∂σx∂x+∂τyx∂y+fx=0，∂σy∂y+∂τxy∂x+fy=0。2-8试列出图2-13，图2-14所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。图2-13图2-14解：对于图2-13中，在主要边界x=0，x=b上，应

5、满足下列的边界条件：σxx=0=-ρgy，τxyx=0=0;σxx=b=-ρgy，τxyx=b=0。在次要边界y=0上，能满足下列边界条件：σyy=0=-ρgh1，τyxy=0=0。在次要边界y=h2上，有位移边界条件：uy=h2=0，vy=h2=0。这两个边界位移条件用圣维南原理的三个积分的应力边界条件代替，设板厚为1个单位，弹性力学作业0bσyy=h2dx=-ρgh1+h2b，0bσyy=h2xdx=0，0bτyxy=h2dx=0。对于图2-15中，在主要边界y=±h/2上，应满足下列边界条件：σyy=h/2=0，τyxy=h/2=

6、-q1;σyy=-h/2=-q，τyxy=-h/2=0。在次要边界上x=0，列出三个积分的应力边界条件：-h/2h/2σxx=0dy=-FN，-h/2h/2σxx=0ydy=-M，-h/2h/2τxyx=0dy=-FS。在次要边界x=l上，有位移边界条件：ux=l=0，vx=l=0。这两个位移边界条件可以改用三个积分边界条件来代替。2-13检验下列应力分量是否是图示问题的解答：图2-16图2-17解：按应力求解时，在单元体中应力分量必须满足：平衡微分方程、相容方程、应力边界条件（本题不计体力）。（a）图2-16，σx=y2b2q，σy=

7、τxy=0。①相容条件：将应力分量代入相容方程得：∂2∂x2+∂2∂y2σx+σy=2qb2≠0，不满足相容方程。②平衡条件：将应力分量代入平衡微分方程∂σx∂x+∂τyx∂y+fx=0，∂σy∂y+∂τxy∂x+fy=0。满足上式。③应力边界条件：在x=±边界上，弹性力学作业σx=y2b2q，τxy=0。在y=±b边界上，σy=0，τyx=0。满足边界条件。（b）图2-17，由材料力学公式，σy=MIy，τxy=FsSbI（取梁的厚度b=1），得出所示问题的解答：σx=-2qx3ylh3，τxy=-3q4x2lh3h2-4y2。又根据

8、平衡微分方程和边界条件得出：σy=3q4xylh-2qx3ylh3-q2xl。试试推导上述公式，并检验解答的正确性。①推导公式：在分布力的作用下，梁发生弯曲变形，其对Z轴的惯性矩为Iz=h312，应用截面法