弹性力学大作业

《弹性力学大作业》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、l四边夹支矩形板的挠度分析许蕾工程力学200900204029l0问题综述如图1所示的矩形板，边长为，厚度为（）,受有均布载荷，用不同的方法求解它的最大挠度，图1并比较分析。l1摘要l本文分别采用差分法、里茨法、伽辽金法求解四边夹支矩形板的最大挠度，将结果与精确解比较，并分析各种不同方法的优势和不足。l关键词：差分法、里茨法、伽辽金法ll2差分法求解⑴图2322123323如图2所示，先用的网格求解（）。根据对称性，只有3个独立的未知值，即、、。①利用较为简单的边界条件表达式，为内结点1、2、3建立差分方程如下：简化以后，联立求解，得到最

2、大挠度，比精确值大42.6%，误差较大。②为了提高解答的精度，改用较精确的边界条件表达式，差分方程成为简化以后，联立求解，得到最大挠度，比精确值大13.4%，比上述简单边界条件的结果小了许多。与上述简单边界条件的结果相比，、、的值分别改变了20.5%、23.3%、24.4%。⑵如图3所示，用的网格求解（）。图3565655655544454332332122根据对称性，只有6个独立的未知值，即、、、、、。①利用较为简单的边界条件表达式，为内结点61、2、3、4、5、6建立差分方程如下：。简化以后，联立求解，得到最大挠度，比精确值大21.8

3、%，该值介于网格的简单边界条件和精确边界条件的结果之间。②为了提高解答的精度，改用较精确的边界条件表达式，差分方程成为简化以后，联立求解，得到最大挠度，比精确值大2.5%，该值较之前的结果精确了许多。与上述简单边界条件的结果相比，、、、、、的值分别改变了15.9%、17.1%、18.1%、22.2%、23.8%、28.6%，可见越靠近边界误差越大。⑶如图4所示，用的网格求解（）。101098789根据对称性，有10个独立的未知值，即9、8956352435568、、、、、、、、78543221234587、、。10799685485961

4、09①利用较为简单的边界条件表达式，为图4内结点建立差分方程如下：简化以后，联立求解，得到最大挠度，比精确值大14.4%，该值比网格的精确边界条件结果要大。②为了提高解答的精度，改用较精确的边界条件表达式，差分方程成为简化以后，联立求解，得到最大挠度，比精确值大0.5%，该误差已经相当小。与上述简单边界条件的结果相比，、、、、、、、、、的值分别改变了12.1%、12.5%、13.3%、15.2%、15.9%、19.1%、21.7%、23.2%、28.6%、45.5%，同样越靠近边界误差越大，前几个靠近中心的挠度值的误差普遍减小。llll3

5、里茨法求解图5YX0l建立坐标轴如图5所示，则位移边界l条件为lll对称性条件为ll另外，挠度的表达式应是关于和的偶函数。ll⑴将挠度的表达式取为ll不论系数取何值，都能满足全部边界条件。l假定在式中只取一个系数，也就是取ll于是得ll按照式求挠度对坐标的二阶导数，得到lll则薄板的形变势能llll由式可得ll另外lll将式和式带入式可求得ll将式带入式求得挠度表达式ll最大挠度为ll比精确值大5.4%，精度较高。⑵将挠度的表达式取为这也满足全部边界条件。假定在式中只取一个系数，也就是取进行与上述相同的运算，则得最大挠度为比精确值大1.5

6、%，精度很高，但还是比不上网格的精确边界条件的结果。4伽辽金法求解坐标的建立、位移边界条件和对称性条件与里茨法相同。l⑴同样将挠度的表达式取为l不论系数取何值，都能满足全部边界条件。l假定在式中只取一个系数，也就是取ll于是得ll将式和式带入方程，并注意问题的对称性，得到积分以后，求解，再带回式，可得此结果和里茨法相同。最大挠度为比精确值大5.4%。⑵同样将挠度的表达式设定为这也满足全部边界条件。假定在式中只取一个系数，也就是取进行与上述相同的运算，则得此结果同样和里茨法相同。最大挠度为比精确值大1.5%。l5结论本文分别用差分法、里茨法

7、、伽辽金法求解了四边夹支的矩形薄板受均布载荷作用下的最大挠度，并与精确值进行对比。差分法的基本思想是用该点邻近点挠度的差商来代替该点的微商，以离散代替连续，通过网格的加密可以使计算结果不断地接近精确值。本文最终采用的网格进行计算，已使最大挠度的误差降至0.5%，由于时间关系不再往下进行。里茨法和伽辽金法本质上是一样的，即都是采取能量的形式，利用边界条件设定挠度表达式求解。同时应注意，设定挠度表达式时，应尽可能不要使它在任一边界上满足某种实际上不存在的边界条件，否则会产生较大的误差。这两种方法都可以通过改变挠度表达式的设定形式来使结果更加精

8、确。