电磁场与电磁波(第三版之3)静电场分析

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1、第3章静电场分析◇以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静电场、恒定电场的特性和求解方法。◇首先建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程；引入电位函数;导出电位满足的泊松方程和拉普拉斯方程；确立电场的边界条件。◇最后讨论电容的计算，电场能量的计算。3.1静电场分析的基本变量3.2真空中静电场的基本方程3.3电位函数3.4泊松方程拉普拉斯方程3.5点电荷的函数表示格林函数3.6格林定理泊松方程的积分公式3.7惟一性定理3.8电介质的极化极化强度3.9介质中的高斯定律边界条件3.10恒定电场的基本方程边界条件3.11导体系统的电容3.12电场能量静电力3.1静电场分析的基本变量◇

2、关系式称为真空的电特性方程或本构关系◇静电场的源变量是电荷◇第2章中已由库仑定律引入了电荷产生的电场强度◇任意电荷分布产生的电场强度◇定义任意电荷分布产生的电位移矢量表示闭合曲面S对点电荷所在点张的立体角3.2真空中静电场的基本方程对任意闭合曲面S积分一、电场的散度设空间存在一点电荷，则点的电位移所以在闭合面内在闭合面外若闭合面内有N个点电荷若闭合面内的电荷分布为真空中的高斯定律散度定理于是电场的散度方程（高斯定理的微分形式）二、电场的旋度真空中电场的基本方程在点电荷的电场中，任取一条曲线，积分当积分路径是闭合曲线，A、B两点重合，得斯托克斯定理当当例3.2.1电荷按体密度分

3、布于半径为a的球形区域内，其中为常数。试计算球内外的电通密度（电位移矢量）。（教材例3.2.1)解:电场具有球对称性，于是于是直角坐标系3.3电位函数由，称为静电场的标量位函数，又称电位函数◇由此可求得电位的微分在任意方向上的分量◇◇空间A、B两点的电位差◇若选取为电位参（即），则任意点的电位为◇对于点电荷的电场，其电位为◇体电荷、面电荷、线电荷产生的电位分别为若取处的电位为零，则解：取如图所示坐标系，场点的电位等于两个点电荷电位的叠加而当因此由于得电偶极子的电位电偶极子的电场强度例3.3.1求电偶极子的电位(教材例3.3.1)。3.4泊松方程拉普拉斯方程由在直角坐标系中电位

4、的泊松方程若空间电荷分布为零，则有电位满足的拉普拉斯方程例3.4.1半径为a的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计算球外空间的电位。解：◇球外空间的电位满足拉氏方程◇电位满足的边界条件由题意可知电位及电场具有球对称性在球坐标系下直接积分因此3.5点电荷的函数表示格林函数◇为表示点电荷的体密度，引入函数◇于是位于处的点电荷q的体密度为◇单位点电荷产生的电位满足的泊松方程◇定义格林函数3.6格林定理泊松方程的积分公式格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。由散度定理设而得格林第一恒等式同理，若设格林第一恒等式表示为——格林第二恒等式利用格林函数的性质和格林第二恒等式可得到

5、有界空间中的泊松方程的积分解以上公式说明，只要知道区域内的电荷分布以及区域边界面上的电位和电位梯度值，就可求出区域内的电位分布。3.7惟一性定理◇静电场的边值问题是在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。◇可以证明在每一类边界条件下泊松方程或拉普拉斯方程的解都是惟一的。这就是边值问题的惟一性定理◇实际边值问题的边界条件分为三类第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件◇惟一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论依据。3.8电介质的极化极化强度当电场中放入电介质时，电介质在电场的作用下发生极化现象，介质中因极化出现许多电偶极矩，电偶极矩又要产生电场，叠加于原来电场之上，使

6、电场发生变化。◇极化强度：用p表示极化的程度，即式中：N为单位体积内被极化的分子数◇极化体电荷◇由于电场的作用使电偶极子的定向排列，介质内部出现极化体电荷，介质表面出现极化面电荷。◇极化面电荷（为介质表面外法线方向的单位矢量）3.9介质中高斯定理边界条件引入极化电荷后，介质的极化效应由极化电荷表征，即空间的电场由自由电荷和极化电荷产生。而极化电荷和自由电荷的实质相同，则由实验证明，P和E之间有一定的线性关系，即得（为电介质中的本构关系）介质的介电常数介质的相对介电常数极化率而得令（介质中的电位移矢量）于是介质中的高斯定理微分形式式中均为自由电荷小圆柱侧面积，h为无穷小量，该面

7、积趋于零一、电位移矢量D的边界条件nh将电场基本方程用于所作的圆柱形表面。设两种不同的电介质，其分界面的法线方向为n，在分界面上作一小圆柱形表面，两底面分别位于介质两侧，底面积为，h为无穷小量。方程左边电位移矢量D的边界条件用矢量表示方程右边为分界面上的自由电荷面密度二、电场强度E的边界条件（其中为回路所围面积的法线方向）因为回路是任意的，其所围面的法向也是任意的，因而有电场强度E的边界条件：或表示为在分界面上作一小的矩形回路，其两边分居于分界面两侧，而高。将方程用于此回路介质分界面两侧电场强度的切向分