高等数学(上册)教案15 函数的极值与最值.doc

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1、第3章导数的应用函数的极值与最值【教学目的】：1.理解函数的极值的概念；2.掌握求函数的极值的方法；3.了解最大值和最小值的定义；4.掌握求函数的最值的方法；5.会求简单实际问题中的最值。【教学重点】：1.函数极值的第一充分条件，第二充分条件；2.导数不存在情况下极值的判定；3.函数最值的求解方法；4.函数的最值的应用。【教学难点】：1.导数不存在情况下极值的判定；2.区分函数的驻点、拐点、极值点以及最值点；3.区分极值点与极值，最值点与最值；4.函数的最值的应用。【教学时数】：2学时【教学过程】：3.3.1

2、函数的极值图3-7从图3-7可以看出，函数在点、处的函数值、比它们近旁各点的函数值都大；在点、、处的函数值、、比它们近旁各点的函数值都小，因此，给出函数极值的如下定义：一般地，设函数在的某邻域内有定义，若对于邻域内不同于的所有，均有，则称是函数的一个极大值，称为极大值点；若对于邻域内不同于的所有，均有，则称是函数的一个极小值，称为极小值点.函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点.注意可导函数的极值点必是它的驻点，但反过来是不成立的，即可导函数的驻点不一定是它的极值点.极值的第一充分条件

3、设函数在点的邻域内可导且，则（1）如果当取左侧邻近的值时，；当取右侧邻近的值时，，则为函数的极大值点，为极大值；（2）如果当取左侧邻近的值时，；当取右侧邻近的值时，，则为函数的极小值点，为极小值；（3）如果当取左右两侧侧邻近的值时，不改变符号，则函数在处没有极值.根据上述定理，求可导函数的极值点和极值的步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求函数的导数，并求出函数的全部驻点以及不可导点；（3）列表考察每个驻点（及不可导点）左右邻近的符号情况以及不可导点的情况，根据定理2.12判定极值点和极值.例2求函数的极

4、值.解（1）函数的定义域为；（2）；（3）令，得驻点.当时，导数不存在；（4）列表讨论如下：不存在极大值极小值由上表知，函数的极大值为，极小值为.极值的第二充分条件设函数在点的邻域内具有二阶导数且，，则（1）当时，函数在处取得极大值；（2）当时，函数在处取得极小值.注意当，且时，则上述方法失效，此时仍用第一充分条件来判定.3.3.2函数的最大值与最小值求函数在闭区间上的最值的步骤如下：（1）求出函数的导数，并求出所有的驻点及不可导点；（2）计算函数在这些点和端点处的函数值；（3）将这些值加以比较，其中最大的为

5、最大值，最小的为最小值.注意（1）在求函数的最大值或最小值时，如果已知该函数在某个区间内只有一个极值点，那么在包含该极值点的此区间内，极大值就是最大值，极小值就是最小值．（1）在求函数的最大值或最小值时，如果已知该函数在某个区间内完全单调，则两个端点即为最值点，两端点处的函数值较大的为最大值，较小的为最小值。例6用一块边长为的正方形铁皮，在其四角各截去一块面积相等的小正方形，做成无盖的铁盒.问截去的小正方形边长为多少时，做出的铁盒容积最大？解设截去的小正方形的边长为，铁盒的容积为.根据题意，得，于是，问题归结

6、为：求为何值时，函数在区间内取得最大值.，令，解得，.因此，在区间内函数只有一个驻点，又由问题的实际意义知，函数的最大值在内取得.所以，当时，函数取得最大值.即当所截去的正方形边长为时，铁盒的容积为最大.【教学小节】：通过本节的学习，学会应用导数求解函数的极值与最值，并能够解决实际生活中遇到的简单最值问题。【课后作业】：无