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1、第五章向量代数与空间解析几何5.1.1向量的概念例1在平行四边形中，设＝a，＝b。试用a和b表示向量、、和，这里是平行四边形对角线的交点（图5－8）解由于平行四边形的对角线互相平行，所以a＋b＝＝2即－（a＋b）＝2于是＝（a＋b）。因为＝－，所以（a＋b）.图5－8又因－a＋b＝＝2，所以＝（b－a）.由于＝－，＝（a－b）.例2设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v。设n为垂直于S的单位向量（图5－11（a）），计算单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）.（a）（b）图5－11解该斜柱体的斜高
2、
3、v
4、，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体的高为
5、v
6、cos,体积为A
7、v
8、cos=Av·n.从而，单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量为P=Av·n.例3设的三条边分别是a、b、c(图5－15)，试用向量运算证明正弦定理19证明注意到CB=CA+AB,故有CBCA=(CA+AB)CA=CACA+ABCA=ABCA=AB(CB+BA)=ABCB图5－15于是得到CBCA=ABCA=ABCB从而
9、CBCA
10、=
11、ABCA
12、=
13、ABCB
14、即absinC＝cbsinA＝casinB所以5.2点的坐标与向量的坐标例1已知点A(4,1,7)、B(-3,5
15、,0)，在y轴上求一点M，使得
16、MA
17、=
18、MB
19、.解因为点在y轴上，故设其坐标为，则由两点间的距离公式，有解得，故所求点为例2求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解因为所以，即△为等腰三角形.5.2.2向量运算的坐标表示例3设有点，，求向量的坐标表示式。解由于，而，，于是即例4已知两点A（4，0，5）和B（7，1，3），求与方向相同的单位向量e.19解因为＝–＝（7，1，3）－（4，0，5）＝（3，1,–2），所以＝，于是e.例5求解以向量为未知元的线性方程组其中a＝（2,1,2），b=(-1,1,-2).解解此方程组得x=2a–3b,y=3a–5b以a，b代
20、入，即得x=2(2,1,2)–3(–1,1,–2)=(7,–1,10)y=3(2,1,2)–5(–1,1,–2)=(11,–2,16).例6已知两点A和B以及实数，在直线AB上求点M，使.解如图7－13所示.由于＝–，＝–，因此–（–），从而（）.以、的坐标（即点A、点B的坐标）代入图7－13本例中的点M称为定比分点，特别地当时，得线段AB的中点为.例7已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解＝（1–2,3–2,0–）=(–1,1,–);
21、
22、=19=;;.例8已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求∠AMB.解作向量，，则∠AMB为向量
23、与的夹角.这时=(1,1,0)，=(1,0,1)，从而•=11+10+01=1;
24、
25、=;=.从而cos∠AMB=,由此得∠AMB＝.例9设立方体得一条对角线为OM，一条棱为OA，且
26、OA
27、=a，求在方向OM上的投影.解如图5－21所示，记∠MOA＝，有，于是＝.图5－21例10设a＝（2，1，－1），b＝（1，－1，2），计算ab.解ab＝.例11已知三角形ABC的顶点分别是A（1，2，3）、B（3，4，5）、和C（2，4，197），求三角形ABC的面积.解由向量积对于，可知三角形ABC的面积由于＝（2，2，2），＝（1，2，4），因此于是例12设刚体以等角速度绕轴
28、旋转，计算刚体上一点M的线速度.解刚体绕轴旋转时，我们可以用在轴上的一个向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则定出：即以右手握住轴，当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时，大拇指的指向就是的方向（图5－22）.图5－22设点M到旋转轴轴上任取一点O做向量r＝，并以表示与r的夹角，那么a=
29、r
30、sin.设线速度为v，那么由物理学上线速度与角速度的关系可知，v的大小为
31、v
32、=
33、ω
34、a=
35、ω
36、
37、r
38、sin;v的方向垂直于通过点M的与轴的平面，即v垂直于ω与r；又v的指向是使ω、r、v符合右手规则，因此有v=ωr.例13已知不在一平面上的四点：A
39、（）、B（）、C（）、D（）.求四面体ABCD的体积.解由立体几何知道，四面体的体积等于以向量、和为棱的平行六面体的体积的六分之一.因而=由于=,=,19=所以=上式中符号的选择必须和行列式的符号一致.5.3空间的平面与直线5.3.1平面例1已知空间两点和，求经过点且与直线垂直的平面方程。解显然就是平面的一个法向量由点法式方程可得所求平面的方程为即例2求过三点（2，－1，4）、（－1，3，－2）和（0，2，3）的平面的方程。解先找出这平面的法线向量n.由于向量n与向量、都垂直，而＝（－3，4，－6），＝（－2，3，－1），所以可取它们的向量积为n：n＝＝＝14i
