高等数学向量代数与空间解析几何总结

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1、一、主要内容（一）向量代数（二）空间解析几何空间解析几何与向量代数习题课向量的线性运算向量的表示法向量积数量积向量的积向量概念（一）向量代数1、向量的概念定义:既有大小又有方向的量称为向量.自由向量、相等向量、负向量、向径.重要概念:零向量、向量的模、单位向量、平行向量、(1)加法：2、向量的线性运算(2)减法：(3)向量与数的乘法：向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标表示式：向量的坐标：3、向量的表示法向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式4、数量积(点积、内积)数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式5、向量积(叉

2、积、外积)向量积的坐标表达式//请归纳向量的数量积和向量积在几何中的用途（1）数量积①求向量的模：②求两向量的夹角：请归纳向量的数量积和向量积在几何中的用途（续）（1）数量积③求一个向量在另一个向量上的投影：④两向量垂直的充要条件为请归纳向量的数量积和向量积在几何中的用途（续）（2）向量积①求与两个非共线向量a、b同时垂直的向量n,可取其中λ是某个非零的数（通常在不考虑向量模的大小时可取λ=1）；请归纳向量的数量积和向量积在几何中的用途（续）（2）向量积②几何上③//直线曲面曲线平面参数方程旋转曲面柱面二次曲面一般方程参数方程一般方程对称式方程点法式方程一般方程空间直角坐标

3、系（二）空间解析几何横轴纵轴竖轴定点1、空间直角坐标系空间的点有序数组空间直角坐标系共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.它们距离为两点间距离公式:曲面方程的定义：2、曲面研究空间曲面的两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程.[1]旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之.这条定直线叫旋转曲面的轴.方程特点:（2）圆锥面（1）球面（3）旋转双曲面[2]柱面定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.从柱面方程看柱面的特征：(1)

4、平面(3)抛物柱面(4)椭圆柱面(2)圆柱面[3]二次曲面定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（1）椭球面（2）椭圆抛物面（3）马鞍面（4）单叶双曲面（5）圆锥面3、空间曲线[1]空间曲线的一般方程[2]空间曲线的参数方程如图空间曲线一般方程为参数方程为[3]空间曲线在坐标面上的投影消去变量z后得：设空间曲线的一般方程：曲线在面上的投影曲线为面上的投影曲线面上的投影曲线如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面[4]空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体曲面4、平面[1]平面的点法式方程[2]平面的一般方程[3]平面的截距式方程[4]平面的夹角[5]两平面位置特征：

5、//5、空间直线[1]空间直线的一般方程[3]空间直线的参数方程[2]空间直线的对称式方程直线直线^两直线的夹角公式[4]两直线的夹角[5]两直线的位置关系：//[6]直线与平面的夹角直线与平面的夹角公式[7]直线与平面的位置关系//二、典型例题例1解由题设条件得解得例2解过已知直线的平面束方程为由题设知由此解得代回平面束方程为例3解将两已知直线方程化为参数方程为即有例4解所求投影直线方程为例5解由于高度不变,故所求旋转曲面方程为例8、已知点A(1,2,5)，B(-2,0,-3),C(1,-3,0)，求点D(4,3,0)关于平面ABC的对称点。解∵平面ABC:2x+y-z+1=0∴

6、过D且垂直于平面的直线为设对称点的坐标（4+2t,3+t,-t)，有距离公式t=4(舍去0）∴对称点为（-4，-2，4）。例9、求证两直线相交，并求出交点坐标及包含两直线的平面。解：∵直线的标准式是令：∴两直线的交点(1,2,-1)包含两直线的平面：x+3y+z-6=0。∵向量∴两直线相交。例10.求直线在平面上的投影直线l0的方程，并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程。解法1设经过l且垂直于π的平面方程为则由条件可知由此解得于是π1的方程为从而l0的方程为：即于是l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程为({A,B,C}⊥s,n)解法2由于直线l的方程可写为所以过直线l的平面方程可设为即

7、由它与平面π垂直，得于是经过直线l且垂直于π的平面方程为从而l0：（下同解法一）l的方向向量为s={1,1,－1}，π的法线向量为n={1，－1，2}经过l且垂直于π的平面π1的法线向量为又因为π1经过l，π1当然经过l上的点（1，0，1），所以π1的方程为即（下同解法一）解法3测验题‖‖‖‖