高等数学空间解析几何与向量代数.doc

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1、1第七章空间解析几何与向量代数第一节空间直角坐标系教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。教学重点：1.空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离公式教学难点：空间思想的建立教学内容：一、空间直角坐标系1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴2的正向。2．间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x轴、y轴、z轴，坐标面分别为xoy面、yo

2、z面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。图7－1右手规则演示图7－2空间直角坐标系图图7－3空间两点MM的距离图3．空间点M(x,y,z)的坐标表示方法。通过坐标把空间的点12与一个有序数组一一对应起来。2注意：特殊点的表示a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4．空间两点间的距离。若M(x,y,z)、M(x,y,z)为空间任意两点，则MM的距离（见1111222212图7－3），利用直角三角形勾股定理为：2222dMMMNNM1212222MppNNM12而MP

3、xx121PNyy21NMzz221所以222dMM(xx)(yy)(zz)12212121特殊地：若两点分别为M(x,y,z)，o(0,0,0)222doMxyz例1：求证以M(4,3,1)、M(7,1,2)、M(5,2,3)三点为顶点的三角形是一123个等腰三角形。2222证明:MM(47)(31)(12)14122222MM(57)(21)(32)6232222MM(54)(23)(31)631由于MMMM，原结论成立。2331例2：设P在x轴上，

4、它到P(0,2,3)的距离为到点P(0,1,1)的距离的两12倍，求点P的坐标。3解：因为P在x轴上，设P点坐标为(x,0,0)2222PPx23x1112222PPx11x2222PP2PPx112x212x1所求点为：(1,0,0)，(1,0,0)小结：空间直角坐标系（轴、面、卦限）空间两点间距离公式作业：4第二节向量及其运算教学目的：使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。教学重点：1.向量的概念2.向量的运算教学难点：向量平行与垂直的关系教学内容：一、

5、向量的概念1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。2．量的表示方法有:a、i、F、OM等等。3．向量相等ab：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。4．量的模：向量的大小，记为a、OM。模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。5．量平行a//b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为

6、a二、向量的运算1．加减法abc：加法运算规律：平行四bc边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规a律有交换率和结合率见图7－42．abc即a(b)c53．向量与数的乘法a：设是一个数，向量a与的乘积a规定为(1)0时，a与a同向，aa(2)0时，a0(3)0时，a与a反向，aa0其满足的运算规律有：结合率、分配率。设a表示与非零向量a同方向的0a单位向量，那么aa定理1：设向量a≠0，那么，向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b＝a例1：在平

7、行四边形ABCD中，设ABa，ADb，试用a和b表示向量MA、MB、MC和MD，这里M是平行四边形对角线的交点。（见图7－5）图7－41解：abAC2AM，于是MA(ab)21由于MCMA，于是MC(ab)21又由于abBD2MD，于是MD(ba)21由于MBMD，于是MB(ba)2小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。作业：6第三节向量的坐标教学目的

8、：进一步介绍向量的坐标表示式、为空间曲面等相关知识打好基础。教学重点：1.向量的坐标表示式2.向量的模与方向余弦的坐标表示式教学难点：1.向量的坐标表示2.向量的模与方向余弦的坐标表示式教学内容：一、向量在轴上的投影1．几个概念(1)轴上有向线段的值：设有一轴u