高等数学空间解析几何与向量代数.doc

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1、1第七章空间解析几何与向量代数第一节空间直角坐标系教学目的:将学生的思维由平面引导到空间,使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。教学重点:1.空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离公式教学难点:空间思想的建立教学内容:一、空间直角坐标系1.将数轴(一维)、平面直角坐标系(二维)进一步推广建立空间直角坐标系(三维)如图7-1,其符合右手规则。即以右手握住z轴,当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴2的正向。2.间直角坐标系共有八个卦限,各轴名称分别为:x轴、y轴、z轴,坐标面分别为xoy面、yo

2、z面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图7-2所示。图7-1右手规则演示图7-2空间直角坐标系图图7-3空间两点MM的距离图3.空间点M(x,y,z)的坐标表示方法。通过坐标把空间的点12与一个有序数组一一对应起来。2注意:特殊点的表示a)在原点、坐标轴、坐标面上的点;b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4.空间两点间的距离。若M(x,y,z)、M(x,y,z)为空间任意两点,则MM的距离(见1111222212图7-3),利用直角三角形勾股定理为:2222dMMMNNM1212222MppNNM12而MP

3、xx121PNyy21NMzz221所以222dMM(xx)(yy)(zz)12212121特殊地:若两点分别为M(x,y,z),o(0,0,0)222doMxyz例1:求证以M(4,3,1)、M(7,1,2)、M(5,2,3)三点为顶点的三角形是一123个等腰三角形。2222证明:MM(47)(31)(12)14122222MM(57)(21)(32)6232222MM(54)(23)(31)631由于MMMM,原结论成立。2331例2:设P在x轴上,

4、它到P(0,2,3)的距离为到点P(0,1,1)的距离的两12倍,求点P的坐标。3解:因为P在x轴上,设P点坐标为(x,0,0)2222PPx23x1112222PPx11x2222PP2PPx112x212x1所求点为:(1,0,0),(1,0,0)小结:空间直角坐标系(轴、面、卦限)空间两点间距离公式作业:4第二节向量及其运算教学目的:使学生对(自由)向量有初步了解,为后继内容的学习打下基础。教学重点:1.向量的概念2.向量的运算教学难点:向量平行与垂直的关系教学内容:一、

5、向量的概念1.向量:既有大小,又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量,其长度表示向量的大小,其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量(以后简称向量)。2.量的表示方法有:a、i、F、OM等等。3.向量相等ab:如果两个向量大小相等,方向相同,则说(即经过平移后能完全重合的向量)。4.量的模:向量的大小,记为a、OM。模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。5.量平行a//b:两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。6.负向量:大小相等但方向相反的向量,记为

6、a二、向量的运算1.加减法abc:加法运算规律:平行四bc边形法则(有时也称三角形法则),其满足的运算规a律有交换率和结合率见图7-42.abc即a(b)c53.向量与数的乘法a:设是一个数,向量a与的乘积a规定为(1)0时,a与a同向,aa(2)0时,a0(3)0时,a与a反向,aa0其满足的运算规律有:结合率、分配率。设a表示与非零向量a同方向的0a单位向量,那么aa定理1:设向量a≠0,那么,向量b平行于a的充分必要条件是:存在唯一的实数λ,使b=a例1:在平

7、行四边形ABCD中,设ABa,ADb,试用a和b表示向量MA、MB、MC和MD,这里M是平行四边形对角线的交点。(见图7-5)图7-41解:abAC2AM,于是MA(ab)21由于MCMA,于是MC(ab)21又由于abBD2MD,于是MD(ba)21由于MBMD,于是MB(ba)2小结:本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识,引导学生对向量(自由向量)有清楚的理解,并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。作业:6第三节向量的坐标教学目的

8、:进一步介绍向量的坐标表示式、为空间曲面等相关知识打好基础。教学重点:1.向量的坐标表示式2.向量的模与方向余弦的坐标表示式教学难点:1.向量的坐标表示2.向量的模与方向余弦的坐标表示式教学内容:一、向量在轴上的投影1.几个概念(1)轴上有向线段的值:设有一轴u

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