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1、第三讲割圆术及极限方法实验目的1．介绍刘徽的割圆术．2．理解极限概念.3．学习matlab求函数极限命令。实验的基本理论及方法1．割圆术中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率．刘微先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积，其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积．“割之弥细，所失弥少．割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想．刘徽先将直径为2的圆分割为6等分，再分割成12等分，24等分，...，这样
2、继续下去，并利用勾股定理计算其面积，从而求出圆周率的近似值，他一直计算到圆内接正192边形的面积。2．斐波那奇数列和黄金分割,,3．学习matlab命令.matlab求极限命令可列表如下:表2.1数学运算matlab命令limit(f)limit(f，x，a)或limit(f，a)limit(f，x，a，’left’)limit(f，x，a，’right’)matlab代数方程求解命令solve调用格式.Solve(函数)给出的根.4．理解极限概念.数列收敛或有极限是指当无限增大时，与某常数无限接近或趋向于
3、某一定值，就图形而言，也就是其点列以某一平行与轴的直线为渐近线.例2.1.观察数列当时的变化趋势.解:输入命令:>>n=1:100；xn=n./(n+1)得到该数列的前100项，从这前100项看出，随的增大，与1非常接近，画出的图形.stem(n，xn)或fori=1:100;plot(n(i),xn(i),’r’)holdonend其中for…end语句是循环语句,循环体内的语句被执行100次,n(i)表示n的第i个分量.由图可看出，随的增大，点列与直线无限接近，因此可得结论:.对函数的极限概念，也可用上
4、述方法理解.例2.2.分析函数，当时的变化趋势.解:画出函数在上的图形.>>x=-1:0.01:1;y=x.*sin(1./x);plot(x,y)从图上看，随着的减小，振幅越来越小趋近于0，频率越来越高作无限次振荡.作出的图象.holdon；plot(x，x，x，-x)例2.3.分析函数当时的变化趋势.解:输入命令:>>x=-1:0.01:1;y=sin(1./x);plot(x,y)从图上看，当时，在-1和1之间无限次振荡，极限不存在.仔细观察该图象，发现图象的某些峰值不是１和-１，而我们知道正弦曲线的
5、峰值是１和-１，这是由于自变量的数据点选取未必使取到１和-１的缘故，读者可试增加数据点，比较它们的结果．例2.4.考察函数当时的变化趋势.解:输入命令:>>x=linspace(-2*pi,2*pi,100);y=sin(x)./x;plot(x,y)从图上看，在附近连续变化，其值与1无限接近，可见.例2.5.考察当时的变化趋势.解:输入命令:>>x=1:20:1000;y=(1+1./x).^x;plot(x,y)从图上看，当时，函数值与某常数无限接近，我们知道，这个常数就是.5．求函数极限例2.6.求.
6、解:输入命令:>>symsx;f=1/(x+1)-3/(x^3+1);limit(f,x,-1)得结果ans=-1.画出函数图形.>>ezplot(f);holdon;plot(-1,-1,’r.’)例2.7.求解:输入命令:>>limit((tan(x)-sin(x))/x^3)得结果:ans=1/2例2.8.求解:输入命令:>>limit(((x+1)/(x-1))^x,inf)得结果:ans=exp(2)例2.9.求解:输入命令:>>limit(x^x,x,0,’right’)得结果:ans=1例2.
7、10.求解:输入命令:>>limit((cot(x))^(1/log(x)),x,0,’right’)得结果:ans=exp(-1)
