空间向量与立体几何讲义.doc

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1、高二年级数学学科一、空间向量的数量积坐标运算1.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着.2．空间向量的直角坐标运算（1）若，，则，，，（2）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。2．数量积：即=3．夹角：．4．模长公式：若，则．5．平行与垂直：6．距离公式：若，，则，或．【典型例题】例1如图，空间四边形OABC中，，，点M在OA上，且O

2、M=2MA,点为的中点，则.例2如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，,点是的中点，求证：.变式：正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，点M是的中点，在直线上求一点N，使得例3已知三角形的顶点是，，，试求这个三角形的面积．例4已知，，，求满足，的点的坐标．二、用向量讨论垂直与平行1、理解直线的方向向量和平面的法向量；2．能用向量方法判断空间线面垂直关系。设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，则由如下结论平行垂直与与与A1xD1B1ADBCC1yz【典型例题】例1在正方体中，求证：是

3、平面的法向量例2.已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，（1）求证：是平面的法向量；（2）求平行四边形的面积．例3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.(1)证明PA∥平面EDB；(2)证明PB⊥平面EFD．例4在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱DD1上是否存在点P，使得平面APC1平面ACC1？证明你的结论．例5如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE

4、:ED=2:1.（I）证明PA⊥平面ABCD；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.