高中数学竞赛(07-10)试题之数列教师版.doc

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1、高中数学竞赛（07-10年）试题分类汇总——数列1．（07全国）已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数。若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于________解：因为，故由已知条件知道：1+q+q2为，其中m为正整数。令，则。由于q是小于1的正有理数，所以，即5≤m≤13且是某个有理数的平方，由此可知。2.（08湖南）已知是等比数列，，则的取值范围是（）A.B.C.D.解:设的公比为，则，进而.所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列..显然，.选C.3.（08全国）设数列的前项和满足：，，则通项=．[解]，即2=，8第8页共8

2、页由此得2．令，()，有，故，所以．120.514．（08江苏）在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么的值为答：[A]A.1B.2C.3D.4解第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的，，，则.选A.5.（08河北）8．已知数列满足，则=___.答案：．解：由已知得，且．所以，即{}是首项、公差均为1的等差数列，所以=n，即有.6.（10全国）已知是公差不为的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，则.解：设的公差为的公比为，则（1），（2）（1）代入（2）得，求得.从而有对一

3、切正整数都成立，即对一切正整数都成立.从而，求得，.7.（11浙江）2.已知等差数列前15项的和=30，则=____6_______.解答：由，而。8.（09全国）一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）【答案】【解析】易知：8第8页共8页(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为，，，…，(ⅲ)为所求．设第行的第一个数为，则……故．9．（07全国）设，求证：当正整数n≥2时，an+1

4、意的正整数n≥2，有，即an+1

5、….……10分若第一次出现的零项为，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值，即，8第8页共8页所以数列中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.……12分11.（08湖北）9．已知数列中，，且．（1）求数列的通项公式；（2）求证：对一切，有．解（1）由已知，对有，两边同除以n，得，即，……………………4分于是，，即，所以，．又时也成立，故．……………………8分（2）当，有，………………12分所以时，有又时，故对一切，有．……………………16分12．（08浙江）设非负等差数列的公差，记为数列的前n项和，证明：8第8页共8页1）若，且，则；2）若则。解：设非负等差数列的

6、首项为，公差为。（1）因为，所以，，。从而有。因为，所以有于是。（2）又因为，所以有13.（09全国）（本小题15分）已知，是实数，方程有两个实根，，数列满足，，(Ⅰ)求数列的通项公式（用，表示）；(Ⅱ)若，，求的前项和．方法一：(Ⅰ)由韦达定理知，又，所以8第8页共8页，整理得令，则．所以是公比为的等比数列．数列的首项为：．所以，即．所以．①当时，，，变为．整理得，，．所以，数列成公差为的等差数列，其首项为．所以．于是数列的通项公式为；②当时，，．整理得，．所以，数列成公比为的等比数列，其首项为．所以．于是数列的通项公式为．(Ⅱ)若，，则，此时．由第(Ⅰ)步的结果得，数列

7、的通项公式为，所以，的前项和为8第8页共8页以上两式相减，整理得所以．方法二：(Ⅰ)由韦达定理知，又，所以，．特征方程的两个根为，．①当时，通项由，得解得．故．②当时，通项．由，得解得，．故．…………………………………………………………10分(Ⅱ)同方法一．14．（10全国）数列满足.求证:.（1）证明：由知，.（2）所以即.从而8第8页共8页.所以（1）等价于，即.（3）由及知.当时，，，即时，（3）成立.设时，（3）成立，即.当时，由（2）知；又由（2）及知均为整数，从而由有即，所以，即（3）对也成立.所以（3