高中数学竞赛数列问题.doc

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1、高中数学竞赛数列问题一、高考数列知识及方法应用（见考纲）二、二阶高次递推关系1．因式分解降次。例：正项数列{an}，满足，求an（化异为同后高次）2．两边取对数降次。例：正项数列{an}，a1=1，且an·an+12=36，求an三、线性递推数列的特征方程法定理1：若数列{an}的递推关系为an+2=λ1an+1+λ2an，则设特征方程x2=λ1x+λ2，且此方程有相异两根x1，x2（x1≠x2），则必有an=c1x1n+c2x2n，其中c1，c2由此数列已知前2项解得，即或由得到。（见训练及考试题）定理2：若方程x2=λ1x+λ2有相等重根x0，

2、则有an=（c1+c2n）x0n，其中c1，c2仍由定理1方程组解得。例如.：1，已知.数列满足，求数列的通项公式2，.数列中，设且，求数列的通项公式3，.数列满足：证明：（1）对任意为正整数；(2)求数列的通项公式。4，已知.数列满足都有，求数列的通项公式四、特殊递推的不动点法（f（x）=x的解称为f（x）的不动点）定理1：若数列{an}满足递推：an+1=a·an+b（a，b∈R），则设x=ax+b，得不动点且数列递推化为：an+1-x0=a（an-x0），进而用构造法解得。定理2：若数列{an}满足递推：，则设，得不动点x1，x2，若x1≠x

3、2，则原递推化为：，再由构造法解得。若x1=x2=x0，即有唯一不动点x0时，原递推可化为：，再由构造法解得。例如：1，在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),求该数列的通项an2，已知.数列满足：，求该数列的通项an3，已知.数列满足：，求该数列的通项an一、递推构造法1．若数列递推满足an+1=k1an+k2·2n，注意构造变形为（an+1+A·2n+1）=k1（an+A·2n），展开后与原递推相同，求出A得值，再化为等比数列解决。2．若数列递推满足an+1=k1an+k2n2+k3n，注意构造变形为（an+1+A(n+1

4、)2+B(n+1)+c）=k1（an+An2+Bn+c），展开后与原递推相同而求出A，B，C的值，再化为等比数列解决。3．若数列为an+1=-3an+2n-n呢？例如：1，求所有a0∈R，使得由an+1=2n-3an（n∈N）所确定得数列a0，a1，a2，…是递增的。2，某运动会开了n天，共发出m枚奖牌：第一天发出1枚加上余下的，第二天发出2枚加上余下的；如此持续了天，第n天发出n枚.该运动会开了________天，共发了____________枚奖牌.后注：以上方法相辅相成，不可孤立理解，当条件不符合时不可随意应用。例：若不知a1，a2的确定值，

5、an+2=2an+1+3an都不可以用特征方程法。望大家结合数列其他讲义及考题认真领会。数列训练题1．（2006年广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则；（答案用n表示）.2.(2006年重庆卷)在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an=_____.

6、3．（2006年全国卷II）函数f(x)＝的最小值为()（A）190（B）171（C）90（D）454．（2006年全国卷I）设是公差为正数的等差数列，若，，则A．B．C．D．5．（2006年江西卷）已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（）A．100B.101C.200D.2016．（2006年辽宁卷）在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于(A)(B)(C)(D)7．(2006年山东卷）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…

7、（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；（3）记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.8．（2006年上海卷）已知有穷数列共有2项（整数≥2），首项＝2．设该数列的前项和为，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常数＞1．（1）求证：数列是等比数列；（2）若＝2，数列满足＝（＝1，2，┅，2），求数列的通项公式；（3）若（2）中的数列满足不等式

8、－

9、＋

10、－

11、＋┅＋

12、－

13、＋

14、－

15、≤4，求的值．9．（2006年全国卷II）设数列｛an｝的前n项和为S

16、n，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…．（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式．（只须