《高中数学竞赛》数列

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1、WORP文档下载可编辑竞赛辅导数列(等差数列与等比数列)数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列{an}的第n项an与项数(下标)n之间的函数关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。　　从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。　　为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列

2、的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。　　一、等差数列　　如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。等差数列{an}的通项公式为：前n项和公式为：　　从(1)式可以看出，是的一次数函()或常数函数()，()排在一条直线上，由(2)式知，是的二次函数()或一次函数()，且常数项为0。在等差数列{}中，等差中项：且任意两项的关系为：它可以看作等差数列广义的通项公式。专业技术资料WORP文档下载可编辑从等差数列的定义、通项公式，前项和公式还可推出：若　　

3、　　　　二、等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母表示。等比数列{an}的通项公式是：　　　前项和公式是：　　　　在等比数列中，等比中项：　　　　且任意两项的关系为如果等比数列的公比满足0＜＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为：从等比数列的定义、通项公式、前项和公式可以推出：专业技术资料WORP文档下载可编辑　　　　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个

4、等差数列的各项做指数构造幂，则{}是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列)，“错位相减”(等比数列)。　　数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前n项和。　　三、范例例1．设ap，aq，am，an是等比数列{an}中的第p、q、m、n项，若p+q=m+n，求证：　　证明：设等比数列{}的首项为，公比为q，则　　　　　说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题

5、中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：a1+k·an-k=a1·an专业技术资料WORP文档下载可编辑对于等差数列，同样有：在等差数列{}中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：a1+k+an-k=a1+an例2．在等差数列{}中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10=　　　A.20B.22C.24D28　　解：由a4+a12=2a8，a6+a10=2a8及已知或得5a8=120，a8=24而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。

6、　　故选C例3．已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有()　　　A.a1+a101＞0B.a2+a100＜0C.a3+a99=0D.a51=51　　[2000年北京春季高考理工类第(13)题]解：显然，a1+a2+a3+…+a101例4．设Sn为等差数列的前项之各，S9=18，，Sn=336，则为()　　　A.16B.21C.9D8专业技术资料WORP文档下载可编辑例5．设等差数列{}满足，且＞0，为其前项之和，则中最大的是()。(1995年全国高中联赛第1题)　　　　(A)S10(B)S11(C)S20(D)S21　　所以

7、:S19=S20最大，选(C)注：也可用二次函数求最值例6．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有()　　(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个　　[1997年全国高中数学联赛第3题]解：设等差数列首项为，公差为，则依题意有：因为是不小于3的自然数，97为素数，故数的值必为2×972的约数(因数)，它只能是97，2×97，972，2×972四者之一。若，则由(*)式知2×972≥故只可能有=97，(*)式化为：，这时(*)有两组解：专业技术资料WORP文档下载可编辑或若，则(*)式化为：，这时(*)也

8、有两组解。或　故符今题设条件的等差数列共4个，分别为：　49，50，51，…，145，(共97项)　　1，3