高中数学竞赛专题之数列.docx

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1、高中数学竞赛专题之数列一、数列的性质等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列，也是各年高考、竞赛的重点，现将它们的主要性质及内容对照讨论如下：性质1：若a1,a2,,an,是等差（等比）数列，那么ai,aij,,aikj,仍是等差（等比）数列。性质2：若{an}为等差数列，且kkkkiljl，那么ailajl（脚标和相同则对应的l1l1l1l1项的和相同）；若{an}为等比数列，且kkkailkajl（脚标和相同则对iljl，那么l1l1l1l1应的项的积相同）。3：若{an}为等差数列，记kkk性质S1ai,S2aik,,Smai(m1)k,，那么i1i1i1{Sm}仍为等差数

2、列，{an}为等比数列，记P1kai,P2kaik,,Pmkai(m1)k,ll1，1l1那么{Pm}仍为等比数列。性质4：若{an}为等比数列，公比为q，且

3、q

4、〈1，则limSna1。n1q例1、若{an}、{bn}为等差数列，其前n项和分别为Sn,TnSn2n，，若3nTn1则liman）A.1B.6C.24（D.nbn339例2、等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为（）A.130B.170C.210D.260例3、{an}、{bn}为等差数列，其前n项和分别为Sn,Tn，若Sn3n31Tn31n3（1）求b28的值，（2）求使bn为整数

5、的所有正整数n。a28an例4、在等差数列{an}中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n,(n19,nN)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若b91，则有等式成立。例5、一个正数，其小数部分、整数部分和其本身成等比数列，则该数为。例6、设{(十进制）位纯小数0.

6、只取0或1，1,2,,1}，na1a2anaiinanTnMn是Mn的元素个数，Sn是所有元素的和，则limSn。Tnn例7、设A={1,2,⋯n},Sn是A的所有非空真子集元素的和，Bn表示A的子集个数，求Sn的值。lim2nnBn例8、设数列{an}的前n项和为Sn2an1,(n1,2,)

7、，数列{bn}满足b13,bk1akbk,(k1,2,)，求数列{bn}的前n项和。方法：首先找出{an}的通项式，在找出{bn}的通项式9、设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b122,b32a2)，例a1,b2a2a3,(a1又lim(b1b2bn)21，试求{an}的通项公式。n例10、设Sn是等差数列{an}的前n项和，且Sn3(an1),(nN)，数列{bn}的通项2式为bn4n3，（1）求数列{an}的通项公式，（2）若d{a1,a2,an,}{b1,b2,bn,}，则称d为数列{an}与{bn}的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{dn}，证明

8、：{dn}的通项公式为dn32n1,(nN)。例11、n2(n4)个正数排成n行n列：a11,a12,a13,a1na21,a22,a23a2nan1,an2,an3,ann其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，已知a241,a4213+ann的值。,a43，求a11+a22+a33816作业：1、将正奇数集合{1，3，5，⋯}由小到大按{9，11，13，15，17}⋯.，则1991位于n组有(2n-1)个奇数进行分组：组中。{1}、{3，5，7}、2、在等差数列{an}中，公差d0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1,a3,ak1,ak2

9、,,akn,成等比数列，求数列{kn}的通项公式。3、设正数数列{an}满足2Snan1,bnan22an3，（1）求数列{an}的通项公式，（2）设Mam2bn2m2n22(ambnmn)，试求M的最小值。二、数学归纳法数学归纳法在一定程度上考察了以下能力：（1）从整体上直接领悟数学对象本质的能力；（2）从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象本质的能力；（3）从解题思路和问题结果中领悟数学本质的能力。第一数学归纳法：设T(n)是一个关于自然数n的命题，满足以下条件：（1）T(1)是成立的，（2）假设T(k)成立能推出T(k1)成立，则命题

10、对一切自然数n都成立。第二数学归纳法：设T(n)是一个关于自然数n的命题，满足以下条件：（1）T(1)是成立的，（2）假设T(1)，T(2)，⋯T(k)成立能推出T(k1)成立，则命题对一切自然数n都成立。解题思维过程：尝试——观察——归纳、猜想——证明，即从特殊关系中概括一般规律，建立猜想，给出严格证明。解题策略：从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等特征去思考问题。nn例1、已知对任意自然数n，有an0且a3j(aj)2，求证ann（1989年高中）