高中数学必修五《海伦公式探究》.doc

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1、海伦公式探究背景：海伦公式在数学学习中使用非常广泛，它方便了日常数学学习中三角形的面积计算，使我们只需知道任意三角形的三边长度，就可以用公式求得三角形的面积大小。但是你知道海伦公式的证明方法吗？本次探究，着手海伦公式的证明方法、推广，使同学们能更深刻地记住海伦公式、容易证明，并且合理使用。过程：海伦公式证明三斜求积术推广运用余弦定理海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据MorrisKline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米得所发现

2、，以托希伦二世的名发表（未查证）。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。如右图，假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由图下公式求得。证明Ⅰ：　　与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为：①②③④⑤⑥⑦设则上式所以，证明Ⅱ：我国著名的数学家九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”。　　秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一

3、半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是，在方程px2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜。定理:若三角形的三条边分别是:大斜、中斜、小斜，则三角形面积为：原文见<数书九章>卷五第二题:以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余，半之．同乘于上，以小斜幂并大斜幂，减上．余，四约之为实，开平方，得积．证明：如图，a=u+v，b2=h2+u2，c2=h2+v2所以，u2-v2=b2-c2(u+v)(u-v)=(b+c)(b-c)a(u-

4、v)=(b+c)(b-c)(u-v)=(b+c)(b-c)/a因(u+v)=a，所以又h2=b2-u2，三角形面积=a．h/2此即：，　其中c>b>a.将根号下的多项式分解因式，便成为可见，三斜求积术与古希腊海伦公式是等价的所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p=(a+b+c),则S△ABC=aha=ab×sinC=rp=2R2sinAsinBsinC==其中，S△ABC=就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测

5、地术》中有记载。海伦公式在解题中有十分重要的应用。一、海伦公式的变形S==①=②=③=④=⑤证一：根据勾股定理证明。分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC=aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。证二：根据斯氏定理证明。根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：｛已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积｝　　这里用海伦公式的推广　　（其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）　　代入解得海伦公式在解题中有十分重要的应用。一、海伦公式的推广由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进

6、行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=,则S四边形=现根据猜想进行证明。证明：如图，延长DA，CB交于点E。设EA=eEB=f∵∠1+∠2=180○∠2+∠3=180○∴∠1=∠3∴△EAB～△ECD∴===解得：e=①f=②由于S四边形ABCD=S△EAB将①，②跟b=代入公式变形④，得：所以，海伦公式的推广得证。一、海伦公式的推广的应用海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD=,AD=1,AB

7、=1,CD=2.求：四边形可能为等腰梯形。解：设BC=x由海伦公式的推广，得：=(4－x)(2＋x)2=27x4－12x2－16x＋27=0x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)=0(x－1)(x3＋x2－11x－27)=0x=1或x3＋x2－11x－27=0当x=1时，AD=BC=1∴四边形可能为等腰梯形。