高中数学必修五《海伦公式探究》

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1、海伦公式探究背景：海伦公式在数学学习中使用非常广泛，它方便了日常数学学习中三角形的面积计算，使我们只需知道任惫三角形的三边长度，就可以用公式求得三角形的面积大小。但是你知道海伦公式的证明方法吗？本次探究，着手海伦公式的证明方法、推广，使同学们能更深刻地记住海伦公式、容易证明，并R合理使用。过程：海伦公式证明三斜求积术推广运用余弦定理海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦一秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据MorrisKline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是

2、阿基米得所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。如右图，假设有一个三角形，边长分别为a、b、c,三角形的面枳S可由图下公式求得。海伦公式:Supc=7p(P-a)(P-b)(p-c)a+b+c真中卩二一-—)证明I:与海伦在他的著作"Metrical《度量论》）屮的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变o2。形来证明。设三角形的三边a、b、C的对角分別为A、B、C,则余眩定理为：cosC=a~+b~~c~2abS=—^xsinC®2=—ahx71-cos2C②2(a2+/?2-c2)24a2xb

3、2=丄丁4航2_(亍+，_(2)(4)4=-J(2ab-^-a2+Z?2-c2)(2ab-a2-b2+c2)(§)4=^[(a+b)2-c2][c2-(a-b)2]®4=+J(d+b+c)(o+b-c)(a-b+c)(-d+/?+/?)⑦ma+b+b设p2ntl一a+b+cfa-b+ca+b-c则p-a-^p-b=,p-c22上式=(d+/?+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)又h2=b2-u三角形面积二乩h/2b2以+以72广4a2a2b2尹4-b2-C24所以，Smbc=』p(p—a)(p-b)(p-c)证明II：我国著名的数学家九韶在《数书九

4、章》提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是，在方程px2二qk,p为“隅”，Q为“实”。以厶、&,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜。小吠尹2+小2-中2]2定理:若三角形的三条边分别是:大斜、屮斜、小斜，则三角形面积为:原文见〈数书九章〉卷五第二题：以小斜幕并大斜幕，减中斜幕，余，半之.同乘于

5、上，以小斜幕并大斜幕，减上.余，四约之为实，开平方,得积.证明：女口图，a=u+v,b2=h2+u2,c2=h2+v2所以，u2-v2=b2-c2(u+v)(u~v)=(b+c)(b-c)a(u~v)=(b+c)(b~c)(u-v)=(b+c)(b~c)/aa2+b2-c2u=因(u+v)二a,所以2aa2b2—(a+b+c)—(abc)—(c+"6)—(b+Q—a)将根号下的多项式分解因式，便成为2'丿2、丿2’丿2、丿可见，三斜求积术与古希腊海伦公式是等价的所以这一公式也被称为“海伦一秦九韶公式”。关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△ABC中，a

6、、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为AABC外接圆、内切圆的半径，p=—(a+b+c),则2Saabc-—aha=—abXsinC=rp22=2R——ZsinAsinBsinC二砂£4R二Qp(p-a)(p-b)(p-c)其中，Saabc=^p{p-ap-bp-c)就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。海伦公式在解题中有十分重要的应用。一、海伦公式的变形S二』p(p—a)(p—b)(p—c)①②③④⑤二才J(o+方+c)(d+/?—c)(a+c—b)(b+c—a)冷J[(d+")“-疋][&一(。一/?)2]

7、证明:如图h」BC・根据勾股定理•得:Saabc此时Saabc为变形④,故得证。证二：根据斯氏定理证明。分析：在证-的赧础上运用斯氏定理白接求出九°斯氏楚理:△ABC边BC上任取-点、D,若BD=u,DC=v;AD=t.则.2h'U+cv?t=uviihiw：a2-b1+c‘ti=2a・・・h/=宀也―二如卢乂±£乜2a・・・s,“Vah严卜川2宀+2宀+了"222a=_】2/以+2//+2，/一"一”此时为S△八RC的变形⑤.故得证，根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：｛己知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB二BC=4,CD=2,D

8、A二6,求