完全平方公式的变形与应用.doc

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1、完全平方公式的变形与应用完全平方公式在使用时常作如下变形:(1)(2)(3)(4)(5)(6)例1已知长方形的周长为40,面积为75,求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少?解设长方形的长为α,宽为b,则α+b=20,αb=75.由公式(1),有:α2+b2=(α+b)2-2αb=202-2×75=250.(答略,下同)例2已知长方形两边之差为4,面积为12,求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积.解设长方形长为α,宽为b,则α-b=4,αb=12.由公式(2),有:(α+b)2=(α-b)2+

2、4αb=42+4×12=64.例3若一个整数可以表示为两个整数的平方和,证明:这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和.证明设整数为x,则x=α2+b2(α、b都是整数).2由公式(3),有2x=2(α2+b2)=(α+b)2+(α-b)2.得证例4将长为64cm的绳分为两段,各自围成一个小正方形,怎样分法使得两个正方形面积之和最小?解设绳被分成的两部分为x、y,则x+y=64.设两正方形的面积之和为S,则由公式(4),有:S=()2+()2=(x2+y2)=[(x+y)2+(x-y)2]=[642+(x-

3、y)2].∵(x-y)2≥0,∴当x=y即(x-y)2=0时,S最小,其最小值为=128(cm2).例5已知两数的和为10,平方和为52,求这两数的积.解设这两数分别为α、b,则α+b=10,α2+b2=52.由公式(5),有:αb=[(α+b)2-(α2+b2)]=(102-52)=24.例6已知α=x+1,b=x+2,c=x+3.求:α2+b2+c2-αb-bc-cα的值.解由公式(6)有:α2+b2+c2-αb-bc-αc=[(α-b)2+(b-c)2+(c-α)2]=[(-1)2+(-1)2+22]=

4、×(1+1+4)=3.2

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