线性模型中总平方和分解公式的证明-论文.pdf

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1、第35卷第1期通化师范学院学报(自然科学)Vo1．35No12014年2月JOURNALOFTONGHUANORMALUNIVERSITYFeb．2014线性模型中总平方和分解公式的证明王剑红，杨素芳(山西药科职业学院基础部，山西太原030031)对于正交饱和设计问题，通常可用如下的线性(a)，其中It为行数，m为列数(因子个数)，统计模型来描述Pj(j=1，2，⋯，m)为第列的水平数，各个P可以Y=卢o1+卢l戈l+⋯+卢mm+=+占(1)相等，也可以不等，a∈{1，2，⋯，尸0且i=1，2，3，其中Y=(Y，Y，⋯，Y)是观察值向量；=⋯，n,j=1，2，3，⋯，m．其中，完全正交设计是

2、指上(2一，面)J=1，2，⋯，m由试验设计来确定；述正交设计满足如下的等式．It一1=(P。一1)+矩阵X=(。，，⋯，)为上述正交表所对应的(P2—1)+⋯+(p一1)．相应于此正交设计H=设计阵；卢=(／3o，)Bl，⋯，卢)’；=(sj，2，⋯，)(a，a2，a，⋯，a)=(a)，取设计阵为X=是误差向量，且(i：1，2，⋯，n)是相互独立同分)n×中=南一籍_1，2，布的随机变量，且有占～N(0，or，)．⋯由于模型(1)是基于正交饱和设计，故此时的，m，特别地，当P。：P：=⋯P=P时，可取=误差平方和等于零，从而使总平方和ss与各列的(Ⅱ)=(。—1)‘三_『一1为正交表H的元

3、素的效应平方和之间有如下总平方和分解公式正交化变化．具体的，当P=2时，=一1，l；当P：SSr=SS1+SS2+⋯+sS,fT=+十⋯+成立．3时，=一1，0，1；当p=4时，=一1，一每，专，1．这篇文章我们给出了总平方和．s与各列的效令In：表示阶单位矩阵；1：表示元素全为1的应平方和ssj之间的矩阵证明方法，优化了文献[1]中对其的证明．n维列向量；P=÷ll．1预备知识在一个试验设计中，当被考虑因子(包括交互在线性统计模型中总平方和SS：∑(y一作用)个数多到使得需估计参数的个数达到可估计参数的最大个数时，这样的试验设计称为饱和设计．)，其自由度=n一1，寺)，=一：l，；当一个饱

4、和设计又为一个正交设计时，称为正交饱和设计．5=0∑(五一)Y~jYO(或因子)的效应平方对于给定的正交设计H=L(P，P：，⋯，P)=和，=p，一1为第jN平方和的自由度，J=1，2，⋯，}收稿日期：2014—0l一05作者简介：王剑红(1971一)，山西汾阳人，硕士，讲师·32·tn．：_『1∑y．‘Eh．IK2主要研究结果及证明O01由于SS=∑(y一)=(yt一，一，⋯，i=l3O0y1一yYl—。Yyll0——Y2——YY2—。YYz一1Y=Y—O0，其中●●●●●●●●●00一一y一yy一)，yOl故00l·耋yi=y一1·1：y=Y一Y=(，n—yr(~diag(P3，P，，P

5、3)一P)Y=00P，)Y=，Yl00因为彳为幂等阵，即r=．r，T=，所以有y(y1，Y29ooo，Y9)r2diag(P3，P3，P3)—9+

6、s．sr=(丁y)rrY=yT下TY：y丁y●●●又注意到Y9s=∑(一)=∑(÷∑Y一)=÷[(yl+Y4+7)2+(y2+Y5+Y8)+1，(Y3+Y6+Y9)]一9=33∑∑Yi)一ny～=，’’J÷∑(∑y)一9严=3∑(五一)=SS1O010Ol00klIEH2kk10寺1薹0(0yl)0一O(yl一+0yz+⋯，y)=这样，对于模型(1)，各列的效应平方和001OO10015：y(diag(PP⋯，P。)一P)y=(diag(P，，，

7、P，，，⋯，P，，)一PY=l001OO100yAy√=1，2，⋯，m．(diag(JPP。，⋯，PrJ)一P)Y=YrA~Y0lO0lO01O且P，A一，A为相互正交的投影阵．其中A=r~diag(PP⋯P)一P√=1，2，00l0O10O因为⋯m．．P=P，lO0l0O1O0为对应设计阵第jN的置换矩阵，即中只有O10O10010diag(PrI'Pr2，⋯，P)diag(Prl'P⋯，P)=0和1两个元素，而且每一行、每一列有且只有一个O0l00O01diag(Prl’P⋯，尸)且Pdiag(PP⋯，P，)=1，其余的元素全是0．由张应山的博士论文知，具P，PA=0，AfAj=0(≠)

8、．有存在性．所以P，A一，A为相互正交的投影阵．例如，对于正交设计L9(3)，我们验证SS=容易验汪Y(diag(P3，P3，P3)r2一P9)Y，=，一P=∑(~diag(P⋯，尸)一P)=∑Aj．所以SSr=Y=yr(Al+A2+⋯+A)Y=Sst+Ss2+⋯+ss．取=总平方和自由度为iT=n一1=p一1为第列平方和的自由度(J=1，2，⋯，m)，而完全正交设计是指上述正交设计满足如下的等式凡一1=(P