椭圆焦点弦的优美性质及其简证-论文.pdf

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1、2014年第6期(下)中学数学研究39椭圆焦点弦的优美性质及其简证南京东南大学(210096)徐文平南京南京十三中学(210008)陈语婷文献⋯李康海老师发现了阗锥曲线焦点弦的一个有趣方等于它分斜边两部分的乘积的条件，所以△ⅣF是直角三性质，读后深受启发．笔者感觉李老师的证明方法比较繁琐，角形，所以MFj_ⅣF．通过思考，作者找到了快速简捷征明，并又发现了椭圆焦点-眭质2：对于椭圆切线问题，可以先进行圆的切线命题弦的一些优美的性质，供大家参号．证明，然后采用线性坐标压缩变换方法，证明椭圆情况下成定理1：过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于P、Q点，点立．

2、、B为椭圆长轴上的顶点，P和Q交于M，曰P和AQ交于如图2中，圆O0的任意割线，Ⅳ，点C为MN的中点，则有以下一些优美的性质．Pp与水平轴交于F点，A、B是圆，1、M}Li、F00的象限点，直线AP与Q交于’2)MN的中点C为焦点弦PQ点，直线ao与JP交于Ⅳ点，c点A的极点，即PC、Gc与椭圆相切；为直线MN的中点，则PC、Oc为圆C3)FC上尸Q；Ao0的切线．．4)F平分PFB角，ⅣF平在△AⅣ中，由于AB为圆。Ⅳ图2分／qFB角．00的直径，．．、B、P、p四点共针对定理1中的4个性质，进图l圆，．’．PB上AM，()上AN，．‘．曰点是△A

3、Ⅳ垂心，那么AB上行简捷证明，具体如下：MN，．‘．MN为竖向直线．·‘-陛质1：假设A(一。，0)，B(n，0)，F(C，0)，M(t，m)，Ⅳ(t，．PⅣ上A，Qj_AⅣ，．’．P、Q、M、N四点共圆，且以MNn)为直径．’’设椭圆的方程为+昔：1，直线PQ的方程为=·．C点为MN的中点，．‘．C点为圆心，Ⅱ0‘．．IMCl=INCI=IPCI=IOcIY+c(c≠0)，易知NPC=CNP=MQP=BAP=LAPO，依据极点与极线的基本知识，△MⅣF为自配极三角形，／OPC=OPB+NPC=OPB+APO=APB极点与ⅣF极线对应，极点Ⅳ与MF极

4、线对应，极点F与=90。．MN极线对应．．．PC上OP，．‘．直线PC与圆00相切．同理可知：直线qc与圆00相切于Q点，MN的中点C椭圆外任意一点(。，)，。)，对应的极线方程为：-。3-+点就是P9的极点．YoY在此基础上，采用线性坐标压缩变换方法，圆转化为椭=1，圆，圆的切线就转化为椭圆切线．如图1，MN的中点C为PQ当椭圆焦点F(c，0)为极点_l寸，极点F对应的MN极线方的极点，即PC、qc与椭圆相切，性质2成立．程为：=2／c，-眭质3：如图3，延伸PQ与Y轴交于R点，在射影几何中，因此(Ⅱ／c，m)，Ⅳ(。／c，，￡)．则点、c调和共轭

5、．极点对应的ⅣF极线方为：设椭圆的方程为+告=兰+：1(1)口61，直线尸Q的方程为=·Y+c(c／一C由于极点对应的ⅣF极线通过点Ⅳ(n／c，n)，≠O)·A丁可得：R(0，一c／k)，R点的极则：+：1(2)．No0线方程为：+：1整理得：mn=6(1—2／c)n0图3一，nn=6／c=(旦_一c)(3)即y=一，依据极点与极由(3)式可知，△ⅣF满足直角三角形斜边上的高的平线知识可知，点R的极线通过C点，中学数学研究2014年第6期(下)则点C(a2／c，一k·b2／c)MFN：MFB+NFB=÷(PFB+QFB)=厶则：：：一9O。直线PQ的

6、方程可以变换为：Y：1·C甄以．MFLNF．—，则：即=性质7：椭圆的极点与极线是对应的，在图4中，焦点F1不变，点F的极线MN位置不变．PQ位置不变，PQ的极点Ck位置不变，即FCj_PQ．·．Q一·÷：一1，同理可知，FDj_AB．’引理1Cs]：如图6，若下列命题中任意两个为真，则第三．．FC上PQ，因此，性质3成立．个也对性质4：在图3中，又‘．‘MF上ⅣF，AFMN为直角三角形，(1)A、B、C、D成调和点列则：lFCI：INCI=IMC1．‘’(2)XB是LAXC的内角平分线；．FC上PQ，可知PQ与AFMN的外接圆0C相切，(3)XB上

7、XD．则：弦切角PFM=FNM，．FNM=厶MFB=PFM．因此：MF平分LPFB角，同理ⅣF平分QFB角，性质4成立．ACD定理2：过椭圆一个焦点F的任意两条焦点弦PQ与AB，AP和BQ交于M，BP和AQ交于Ⅳ，点C为PQ的极点，点D图6性质8：如图4，已证明，平分P朋角，为AB的极点，则有以下一些优美的性质．则：MFB=FP1)MF平分A_PFB角，ⅣF平前面已经证明，FC上PQ，肋上AB，分QFB角．则：CFM=90。一MFP=90。一MFB2)MFJ_NF；DFM=90。一MFB=90。一FP3)FC上PQ，FD上AB；‘4)NM调和分割CD

8、，即1／NC．．CFM=厶DFM。。+1／ND=2／NM．．前面已经证明，MF_LⅣF，如图4，符合引理1的