神奇的余弦定理-论文.pdf

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1、余弦定理是解三角形的重要工具，具有形式多样，证法众多，应用广泛等特点．☆一、余弦定理的表示形式如果借助正弦定理将三边分别用对应三角形任何一边的平方等于其他两边角的正弦值表示，则余弦定理又可以写成：平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍．这个结论揭示了任一三角形的sinA—sinB+sinC一2sinBsinCcosA．f622三边与一角的余弦之间的等量关系，我们称sinB—sin。C一_sinA一2sinCsinACOSB．一一之为余弦定理．／／22sinC—sinA+sin。B一2sinAsinBcosC．6CCC设AABC的三边分别为a，O

2、Sb，COS，对应角(4)为A，B，C，则有、A，＼Af6++余弦定理还可以用向量的数量积形式6f06212=b+c0一2bccosA。表示，设／kABC的三边分别为a，b，C，对应角一一b=c+a——2caCOSB，2n2口为A，B，C，则c2一口0+b——2abCOSC一．一00，●．A--d一，许多师生喜欢将余弦定理表，●示＼成如下3形式，一是此形式便于求角，二是、此形式具C+n一bu-X．一———————一’(5)有美感，等式一边是角，一边是三边的表示形式，简洁明了．请欣赏：a+b一c．商一2。cosA一=余弦定理的逆定理也同样成立，可以表CO

3、SB==(2)述为：对于正实数a，b，c，及OE(0，re)，若有a。2ab‘一b。+f一2bccosO，则a，6，f对应的线段构成一个三角形，且0为b，c边的夹角．(6)在三角形中，已知两边及夹角求第三边弄清余弦定理各种形式及其联系，可以用余弦定理非常方便，其实已知两边和其中加深对余弦定理本质的理解，更好地应用余一边所对角，求第三边也很方便．只须将余弦定理解决问题，同时提高数式变形(运算)弦写成方程的形式，如：能力．—聊㈣ceEbcaminario1．仔细体味书本中的向量证法(参看课2sinBsinCcosA]本苏教版《必修5》第13页)．一k。r1

4、+cosACOS(B—C)一2．解析法．2sinBsinCcosAI在／kABC中，设AC=b，AB—C，建立如—k。r1+cosA(cosBcosC+sinBsinC一图1所示的直角坐标系．2sinBsinC)l一是[1+cosAcos(B+C)]l一k。(1一COSA)。＼＼一ksin。A、．C===口2．所以结论成立．‘注：上述证明中如不用和差化积公式，图1可用三角代换2B一(B+C)+(B—C)，2C=设C(b，0)，B(ccosA，csinA)，(B+C)+(C—B)代人展开可得．则BC一(ccosA一6)。+(csinA一0)：你还可以思考

5、发现更多更好的证法．ccos2A一2bccosA+b+C。sin。A—b+C。另证：由正弦定理得：一2bccosA，n=4R。sinA即a。一b+f一2bccosA．一4Rsin。(B+C)3．向量坐标法．，=4R2(sinBcosC+COSBsin。C+以A点为原点建立直角坐标系，记三角2sinBsinCCOSBCOSC)形各顶点坐标为A(0，0)，B(1，Y)，C(zz，=4R。[-sin2B(1一sin2C)十(1一sin2B)·．)'。)，由向量数量积公式有COSBAC—sin2C+2sinBsinCcosBcosC~1z2+yly2：4R。r

6、sinB+sinC+2sinBsinC··、cos(B+C)l(z+{)+(z；+1)一[(z一zz_二一4Rsin2B+4Rsin2C一2(2RsinB)·2_-。(2RsinC)COsAC。+6一口—一—’—b+C一2bccosA．变形即得a=6+c。一2bccosA．4．用正弦定理证明余弦定理：余弦定理的应用由正弦定理一五b语一一是可得我国古代数学家秦九韶发现了已知三口=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，从而b2+c。一边求三角形面积的公式，后人称之为秦九韶26ccosA一点。[-sin2Bq-sin2C-2sinBsinCcosA~公

7、式(或“三斜求积公式”)．【UniversityCk：ntmnce,12~amination在日常生活中，我们常遇到一些让人难概率为0．75，输给业余运动员乙的概率为以理解，甚至不可思议的事情．如比赛双方0．5，如何排兵布阵，对业余队更有利?胜负的判断、一个群体中有两人同一天过生根据比赛规则，共有两种出场顺序：日等，这些现象的发生是巧合还是必然?下“甲一乙一甲”和“乙一甲乙”．大家一致认面我们从概率的角度来分析一下这些事情为业余运动员甲对专业运动员获胜的机会发生的可能．大，应多让业余运动员甲多上场，故选择：“甲一乙一甲”的出场顺序与专业运动员进☆一、比

8、赛胜负行比赛．我们来计算一下这两种出场顺序下业一名专业运动员与两名业余运动员进余队获胜的概率．