数学中的正、余弦定理的应用-论文.pdf

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1、课堂艺术徵?学中的正余弦定理的应用_唐晓文一高中数学中，正弦定理和余弦定理是解决几何三、求值问题的利刃，是解决有关斜三角形的两个重要定理，例2在AABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对其主要作用是将已知条件中的边角关系转化为纯边边，设n+c=2b，A-C：．f。求si相的值。3或纯角的关系，使问题得以解决。下面举例说明正、以下公式供解题时参考：余弦定理在三角形中的应用，以供参考。一解三角形sin+sinto=2sinc。s’sinn=已知两边或两角或三边，求其他边角。+．一^例1在AABC中，厶4、曰、／C所对的边长

2、分COS——sin——22别为n、b、c，设0、b、c满足条件6+c2-bc=和÷=1+c湖+cos：2c。sc。s，c。s⋯s=0、／了，求A和tanB的值。+．一^．一Zsin————S1n————。-2a2解：由余弦定理c。sA：—b2+c-122—：一，因此／A：2bc2解：由正弦定理和已知条件口=26，得sinA+sinC=60。。2sinB在△ABC中，C=I80。一／_A一／B=120。一／B。由由和差化积公式得2i尘COS尘：21·B22已知条件，应用正弦定理_l_+、／_3：～C—sinC由A+B+C：

3、得sinA+C：cosB——22sin(120~-B)sin120。cosB_cos120~sinBsinBsi：。。侣+2J．A—C：得COS旦：inB322_l，解得c0tB=2，从而tanB=一1。22．。、／3日．BB～．．COS一=sin～COS——二判断三角形的形状2222三角形的形状的判定常常通过正弦定理和余弦．．0<旦<旦cos旦≠o．222定理，将已知条件中的边角关系转化为纯边或纯角．B、／3的关系，寻找边之间的关系或角之间关系来判定。。．．SII3——=——一24例2在△ABC中，acosA+6COS

4、B=cCosC，判断从而=8x(1≤≤4，v>0)△ABC的形状。解：由已知条件，应用正弦定理得．iB：堕：．．2482RsinAcosA+2RsinBcosB=2RsinCcosC．评注：本小题考查正弦定理，同角三角函数基本‘．．sin2A+sin2口=sin2C，公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行·．．sin2A+sin2B=一sin(2A+2B)。恒等变形的技能及运算能力。·．．2sin(A+B)cos(A—B)=一2sin(A+B)COS(+B)。四、解决实际问题‘．．2sinC·[cos(A十)+c

5、os(A—B)]=0，应用正弦定理和余弦定理解决应用问题时，应·一2cosAcosB：0，故有：一"IT或B：一"IT，将已知元素和未知元素弄清楚，根据题意画出示意．．22图，明确题目中的一些名词、术语的意义，如北偏东，·．．AABC是直角三角形。南偏西等；仰角、俯角、坡度、坡角、航海中的方位角评注：已知三角形中的边角关系式，判断三角形等的意义。的形状，有两条思考路线：①化边为角，再进行三角例3渔船甲以1O海里／／J、时的速度向正北方行恒等变换求出三个角之间的关系式；②化角为边，再驶至4处时，发现正前方20海里的曰处有一

6、渔船乙正进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。两种以8海里／，J、时的速度向北偏西6Oo的方向行驶，问经转化主要是应用正弦定理和余弦定理。过多少小时后两船相距最近，最近距离为多少?课堂艺术0逻talk称也走的★■庄志辉★有这样一则生活故事：一位买主到粮店里买50且米元不断撞击的过程(动量变化)形成一个持续的公斤米，店主首先秤好0．5公斤盛米空容器并留于磅冲力F，并满足F~t=Am·(At为米元撞击时间)，易知秤上，然后移动磅秤使上方大储米器的放米口对准匣定不变。分析出这一结果后我们不妨改变研究对空容器，并把秤砣指示在横

7、杆的50．5公斤位置，接着象和研究过程，以关闭阀门后空中的整个米柱为研开启阀门放米，当秤的横杆首次不稳定地到达水平究对象，研究整个撞击过程。设该撞击过程的总时间位置时，立即关闭阀门，称量完毕。这时买主提出质为t，该时间应近似等于最上面的米元自由下落的时疑，认为关阀时有冲力存在，故称量不足，而店主则rr间，即t：、／，这样整个撞击过程的动量定理表达说关阀时虽有冲力但还有一部分米在空中，不存在Vg称量不足问题，双方发生争执，但稍后争执自然平式应为Ft=m，把相应结果代入此式就可得出F=mg息，因为稳定后秤的横杆确实平稳地处于

8、水平位置。的结论。值得一提的是，上述过程在底下第一个米元买主带上米悄然地离去，但心中仍存这样的疑撞击时已有F+mug=mog(m为最后要得的米量)，那么惑——如此称法为何也是准确的?!后继n一1个米元撞击过程有F=m．g>mog，故磅秤的横下面笔者就用物理杆有一个继续上翘的过程，但撞击过程结束并上下分析方法来消除买主