总体最小二乘拟合问题求解方法的比较研究-论文.pdf

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1、存39卷第9期测绘科学Vo1．39NO．92014年09月ScienceofSurveyingandMappingSep．总体最小二乘拟合问题求解方法的比较研究龚循强，刘国祥，李志林，周秀芳(1．西南交通大学地球科学与环境工程学院，成都611756；2．江西省数字国土重点实验室(东华理工大学)，南昌330013；3．精密工程与工业测量国家测绘地理信息局重点实验室，武汉4300794．四川I农业大学经济管理学院，成都611130)摘要：目前对总体最小二乘求解方法的研究，出现了奇异值分解的总体最小二乘法、顾及自变量和因变量误差的总体最小二乘法及正交总体最小二乘法。在模型推导的基础上，本文对

2、3种总体最小二乘法在直线和平面拟合中求解的参数及其精度进行了分析，通过与最小二乘法的比较表明，总体最小二乘法得到的拟合结果更加稳健，且以正交总体最小二乘法的拟合结果为最优。关键词：总体最小二乘法；拟合；最小二乘法；奇异值分解；正交总体最小二乘法【中图分类号1P207．2【文献标识码】A【文章编号】1009—2307(2014)09—0029—05合参数方面进行了大量的研究。文献[-43在数学引言模型基础上探讨了奇异值分解(SingularValueDe—拟合是根据已知离散值确定变量之间的关系，composition，SVD)的TLS，因奇异值分解的复杂E测绘领域，如大地水准面的拟合、G

3、PS高程拟性限制了TLS的大量应用，先后有学者提出了、三维激光扫描点云拟合都要求用到一种合理TLS迭代和递推的等价算法。为使广大测绘学勺拟合方法来处理。现阶段广泛采用最小二乘法者更易于理解掌握，文献[1o3基于测量平差函LeastSquares，IS)进行拟合函数的参数求解，数模型的建立和解算，提出了一种顾及自变量和复方法简单方便，但却未考虑自变量同样存在误因变量误差的TLS，并推导了具体的解算方法，兰这一客观现象，从而导致自变量和因变量的选而文献[11]则从正交的角度对TLS参数进行了垂不同时，拟合函数的解算结果不一致。估计。目前，相关学者对以上3种TLS的求解方总体最小二乘法_l]

4、(TotalLeastSquares，法进行了一定的理论与应用研究，但对于采用这3、LS)能够同时考虑自变量和因变量误差，从而使种TLS进行拟合参数估计的精度及最佳适用场合晕函数的解算结果不会因自变量和因变量的选择却较少涉及。本文在对以上3种TLS做理论阐述同而改变。自从1980年Golub等[3提出TLS的的基础上，尝试分别采用LS和三种TLS进行直念以来，该方法在信号处理、统计学、计算机线和平面的拟合，并对这4种算法所得结果进行比玎医学等领域引起了广泛的关注，近几年在测绘较研究。孝科亦掀起了研究热潮，尤其在采用TLS求解拟2基于不同算法的总体最小二乘法目前，LS是对拟合函数参数求解

5、的最常用作者简介：龚循强(1988)，男，江西方法。但是，这种方法本身存在着一定的缺陷，进贤人，博士生，主要从事空间数据获取与处理研究。其只考虑处理因变量误差。TLS能够同时考虑E—mail：xqgongl988@163．corn自变量和因变量误差，使得函数的解算结果更合理。自从问世以来，关于TLS的求解方法一收稿日期：2012-12—27直是研究热点，下面通过直线方程来介绍3种基金项目：973计划课题TLS方法。(2012CB719901)；国家自然科学基金2．1奇异值分解的总体最小二乘法41201475)；江西省数字国土重点实验室开放研究基金资项目(DILJ201407)；精密工程

6、与工业测量国家测绘地理在TLS求解中，奇异值分解是主要的工具之息局重点实验室开放基金项目(PF2013—15)一。对于直线方程一+b，同时考虑自变量3O测绘科学第39卷和因变量Y存在误差。表示成误差方程式形式则参数的TLS估值为(A+EA)X—L+EL(1)一(fo)+AX(7)zl112．3正交总体最小二乘法．2C21Yz假设有个观测点(z，Y)，(z，Y。)⋯(z，(1)式中，A—，x—，L—Lbj：●Y)，根据这些观测点拟合直线。为了得到拟合效z1果最好的直线，需要考虑所有观测点到拟合直线”EA、E』J为矩阵A、L所对应的误差矩阵。的距离平方和最小。计算每个变量的平均值z一将增广

7、矩阵进行奇异值分解12、一z，由几何及微积分可知，拟合rA[U2]·[]直线必须通过个数据点的中心(，)才能使拟合效果最好。因此，可将直线方程Y一甜+b转化为(2)a(z一)一b(一)一0，求出a、b的值，即为1]式中，U一[U1U】lz]，·V一100I·TLS的解。Y1一Y2一Yz]设矩阵M—，将M特征l2122f。LJ一nTLS解可由增广矩阵右奇异向量的最后一列值分解求得，即参数x的估值为MM—UIEIU(8)x一一l2y(3)(8)式中