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1、第卷第期中国铁道科学年月非线性最小二乘拟合的计算方法邢书珍邢天奇铁道部科学研究院提要本文对工程中经常遇到的非线性最小二乘拟合问题提出了一个计算机算法该方法共分两步首先利用优选法求出非线性参数,然后计算线性参数。对于三参数曲线,利用线性回归分析求线性参数对于多参数曲线,则利用广义逆矩阵理论求出线性参数。在这些算法中,迭代初值,而迭代总是收敛的可以任意选取关键词非线性最小二乘拟合优选法线性回归广义逆矩阵引言在工程问题中,经常遇到非线性拟合问题。例如铁路路基实测容重和容重计数比之间拟合的线型为少一。‘一手。。、对于包括中长寿命区的一曲线或尸一一曲线则用三参数幂函数表达式,、少一〔火卞户不少其中夕—
2、最大疲劳应力—疲劳寿命。近似地疲劳极限、常数。与此类似的还可以列举很多。例如—‘、了占三‘、、卫斗,一乙‘一一气工久卜二一氏一,’⋯一二一刃了一十气⋯十,久卜’’等等对这类曲线的拟合,均不能通过变量变换直接变为线性拟合问题。,可,,,以关于非线性拟合问题以利用展开逐次线性化亦即对拟合参数逐次逼近得到问题的解答川。然而非线性问题这样处理的难点,远不是需要大量的反复计算,而是迭代过程发散。也就是说,当迭代初值选择得不好时,展开完全失真,致使迭代值不是逼近真值,而是远离真值。计算实践表明,迭代不收敛是常常遇到的。这给工程技术人员带来很大的烦恼。因此,对于工程上经常遇到的非线性模型有必要探讨更为合理
3、的计算方法,以达事半功倍之目的。本文收到日期年月日第期非线护。最小二乘拟合的计算方法三参数非线性曲线拟合的计算式。·既然不能通过变换的方一均为三参数非线性曲线对于这类曲线的拟合法例如两边取对数直接化为线性问题,又想避开逐次线性化不易收敛的障碍,我们采取,,。一一,。二。分两步计算的方法确定三个参数首先利用优选法法确定参数然后用线性回归分析确定其余两个参数和。兹以非线性模型为例阐述这一方法的具体做法。设有非线性模型的一组实测数据,,,,·,,⋯术、了,,·一子,,⋯则数据变为,一,⋯,而非线性模型中参数,关于数据的非线性拟合变为按直线少。,。,。。。‘关于数据的拟合显然与数据相对应的相关系数依
4、赖于记为为的单峰函数。设在最小二乘意义下,非线性模型关于数据的拟合参数,,,二。。。为云则函数在亡达到极大值亡函数的极大值点云可以利用优选法。法得到。在得到云之后,利用由数据好相应的变换而得到的一组数据按线型经线性。回归得到泛和左」,,。,,利用法求亡时需要首先确定亡所在的区间顺便指出这里的与式、中的参数意义不同。区间,的确定对于图所示的单峰函数。,设。,。,若。亡,亡,镇则有若则有雹。,。。,利用单峰函数的以上性质任取任任,,一然后做判别,,云任,若则有若,则有云任,,,。任,若则有一,亡根据以上判别式可以得到汁算所在区间的图。框图。,参数和的框图见图甲为任意值改。,。。当数据负相关时相关
5、系数为负值故框图中应为其绝对值一,只是为书写方便而略去绝对值的符号。,,。。在图的框图中仅需女。对任意初值均可以计算出区间参数和使得,亦即不存在发散的问题。中刊铁道科学第卷自一。。,例对于表所载的对数据取么一,计算出一一,,。。一,△取改计算出取计算出。,一。在第部分可以看到,这三组和均满足亡。。,、。’·一以叮。尹二〕,入一入、杯、一、“一尸。八月〔。一’一一少一仃’,’夕护刀一口一〔之乃一月一。之一。一一。一】一夕口一,夕一夕〕〕,一图表夕只又夕气只气汽选气门利用法计算云求无约束极值问题的方法很多,但是有些方法不仅要求函数有解析表达式,而且还要求。。,。函数的导数存在例如法和平分法即属此
6、类然而本文讨论的的极值点云任,,。,。,。的计算由于无解析表达式更无法直接求出的导数’因此上述的方法。,。在这里均不适用而。法恰好适用于求解的极值点云任因为。法仅仅需要”。。,二一,,,计算的函数值这是容易实现的对于给定的值将实测数据中的⋯们,。,‘做变换从而得到依赖于的一组数据根据这组数据利用数理统计中计算相关系数的公式,’二二二寸、,,二和是根据中的、其中—对数据计算的量第期非线性最小二乘拟合的计算方法、二二︸”,,、艺汀厂娜月”一一——刀‘一。,⋯一夕一全,、,一二、‘甲盆曰‘,夕,勃全甲一,一一可以计算出依赖的相关系数。众所周知,动满足一簇镇。。,法是求区间上的单峰函数的极小值而函数
7、一川在区间上的极大值一二。,。点亡即是函数三一川在区间,上的极小值点因此利用法求出函数在区间上的极小值点亡即为’的极大值点。·例如对于例中的数据表用。法求出的亡一,相关系数动一·确定和吞利用已求出的亡,将数据做相应的变换·二一。子一,,⋯得到一组数据二,,〕一⋯,,·,。根据这组数据利用线性回归方法便可以得到线型的拟合参数此即非线性模型王中参数,乃在最小二乘意义卜关于数据的拟合参数连同乙一起便构成了非线性模型
